Question

请数学高手帮我解答一下，谢谢! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

1、已知：f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R),求证：关于x的方程ax^2+bx+c=0恰有两个不相等的实数解的充要条件是：存在x0∈R，使af(x0)＜0
2、对集合定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减次序重新排列该子集中的元素然后从最大数开始交替减，加后合计的数，如{1，2，4，6}，交替和是6-4+2-1=3，则{1，2，3，...，n}的所有子集的“交替和”的总和为多少？

Answer 1

1,错题.少了个条件:a>0(比如取a=-1,b=0,c=-1,则f(x)<0恒成立,但f(x)=0无实数解)

正题:已知：f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R,a>0),求证：关于x的方程ax^2+bx+c=0恰有两个不相等的实数解的充要条件是：存在x0∈R，使f(x0)＜0

证明:先证必要性.设方程ax^2+bx+c=0恰有两个不相等的实数解x1,x2,且x1<x2,则ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),从而当x1<x<x2时,f(x)＜0
再证充分性.设存在x0∈R，使f(x0)＜0,由于抛物线y=ax^2+bx+c开口向上,故与x轴必有二交点

2,用数列递推做.设总和为An,{1，2，3，...，n}的所有子集可以分成两种,一种含有n,一种不含有n,不含有n的所有子集的“交替和”的总和为A(n-1),含有n的所有子集的“交替和”的总和为n*2^(n-1)-A(n-1),所以An=n*2^(n-1)
最后只需检验n=1时上式是否成立(因为上式推导前提是n>1)

Answer 2

第一题画图就可以了。a*f(x0)<0, 有两种情况，a>0, f(x0)<0; a<0, f(x0)>0，画两个图即可。
第二题太繁杂了，2的n次方，这么多的子集算交替和还和再算总和....编程可以算。

n=1时和=1
n=2时和=4
n=3时和=12
n=4时和=30
...........
没发现什么规律....

Answer 3

a*f(x0)<0, 有两种情况，a>0, f(x0)<0; a<0, f(x0)>0