已知a属于R 求函数y=(a-sinx)(a-cosx)的最小值
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解：∵y=(a-sinx)(a-cosx)=a^2 -a(sinx+cosx) +sinxcosx,
令sinx+cosx=t,t∈[-√2,√2],则sinxcosx=(t^2 -1)/2. 则y=a^2 -at+(t^2 -1)/2=[(t-a)^2 +a^2 -1]/2,
记f(t)=[(t-a)^2 +a^2 -1]/2, t∈[-√2,√2],分类讨论如下，
①当a≥√2时,f(t)在[-√2,√2]单调递减，则ymin=f(√2)=a^2 -√2a +1/2
②当-√2<a<√2时, ymin=f(a)=(a^2-1)/2
③a≤ -√2时,f(t)在[-√2,√2]单调递增，则ymin=f(-√2)=a^2 +√2a +1/2
令sinx+cosx=t,t∈[-√2,√2],则sinxcosx=(t^2 -1)/2. 则y=a^2 -at+(t^2 -1)/2=[(t-a)^2 +a^2 -1]/2,
记f(t)=[(t-a)^2 +a^2 -1]/2, t∈[-√2,√2],分类讨论如下，
①当a≥√2时,f(t)在[-√2,√2]单调递减，则ymin=f(√2)=a^2 -√2a +1/2
②当-√2<a<√2时, ymin=f(a)=(a^2-1)/2
③a≤ -√2时,f(t)在[-√2,√2]单调递增，则ymin=f(-√2)=a^2 +√2a +1/2
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2024-10-13 广告
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