Question

设（X,Y）的概率密度为f(x,y)=x+y (0<=x<=1,0<=y<=1) 0 其他 1求z=max{X,Y}概率密度 2求z=min{X,Y}概率密度

Answer 1

f(x,y)=x+y (0<=x<=1,0<=y<=1)
1.z=max{X,Y}概率密度
F（z)=P(Z<=z)=P(max{X,Y}<=z）=P(X<=z,Y<=z)
当z<=0时，F(z)=0
当0<z<1时，F(z)=P(X<=z,Y<=z)=∫【0,z】dx∫【0,z】(x+y)dy=∫【0,z】(xz+z^2/2)dx=z^3
当z>=1时，F(z)=1

所以f(z)=3z^2,0<z<1,f(z)=0,z取其它值

2.z=min{X,Y}概率密度

F（z)=P(Z<=z)=P(min{X,Y}<=z）=1-P(min{X,Y}>z)=1-P(X>z,Y>z)
当z<=0时，F(z)=0
当0<z<1时，F(z)=1-P(X>z,Y>z)=1-∫【z,1】dx∫【z,1】(x+y)dy=1-∫【z,1】(x+1/2-xz-z^2/2)dx=1-z-z^2+z^3
当z>=1时，F(z)=1

所以f(z)=3z^2-2z-1,0<z<1,f(z)=0,z取其它值

解毕

追问

谢谢你，原来z=max{X,Y}求F(z)就是对f(x,y)求两个上限为z的二次积分啊，谢谢你了。我们书上写的是F(z)=FX(x)*FY(y),这个的前提是x,y独立吧？因为这个题目没有说它独立，所以就直接求积分了吧？

追答

对的 本题是不独立的
fX(x)=∫【0,1】f（x,y)dy=∫【0,1】（x+y)dy=(xy+y^2/2)|【0,1】=x+1/2,0<=x<=1
fY(y)=∫【0,1】f（x,y)dx=∫【0,1】（x+y)dx=(xy+x^2/2)|【0,1】=y+1/2,0<=y<=1

Answer 2

楼主的答案计算有误，min(x,y)中，当0<z<1是，F(z)=1-(1-z-z^2+z^3)=z+z^2-z^3才对。希望对你有帮助