Question

函数极值问题，给函数最大最小值，求函数区间

f（x）=X^3-3aX+b（a大于0)的极值为6，最小极值为2，则f（x）的减区间是

Answer 1

f（x）=X^3-3aX+b（a大于0)的极值为6，最小极值为2，则f（x）的减区间是
解析：∵f(x)=X^3-3aX+b（a>0)的极大值为6，最小极值为2
令f’(x)=3X^2-3a=0==>x1=-√a，x2=√a
f’’(x)=6X
∴f”(x1)<0,f(x)在x1处取极大值；f”(x2)》0,f(x)在x2处取极小值；
F(x1)=2a^(3/2)+b=6, F(x1)=-2a^(3/2)+b=2
二者联立解得a=1,b=4
∴x1=-1,x2=1
∴函数f(x)的减区间为[-1,1]

Answer 2

f‘(x)=3x²-3a，因a＞0，令f‘(x)=0得x=±根号a，令f‘(x)＜0得-根号a＜x＜根号a，令f‘(x)＞0得x＞根号a或x＜-根号a，因此在x=-根号a和根号a处分别取极大极小值，
∴f(-根号a)=-a根号a+3a根号a+b=6……①
f(根号a)=a根号a-3a根号a+b=2………②
由①②解得a=1，b=4
由前述，可知f(x)减区间为(-根号a，根号a),即(-1，1)

Answer 3

解：对f（x）=X^3-3aX+b求导得：(f(x))'=3x^2-3a 令(f(x))'>0，则当x>a^(1/2)或x<-a^(1/2)时，
f(x)单调递增， 令(f(x))'<0，则当-a^(1/2)<x<a^(1/2)时，f(x)单调递减，所以f(x)在x=a^(1/2)处
取到极小值2，在x=-a^(1/2)处取到极大值6，所以有下面方程式：f(a^(1/2))=2,f(-a^(1/2))=6,
所以得到a=4^(1/3),所以递减范围为（-2^(1/3)，2^(1/3)） 证毕