Question

已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF。

已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF。
（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明。
（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。

Answer 1

（1）⊿BEC≌⊿FCD，【还有⊿BED≌⊿FCE】
证明：
∵⊿ABC是等边三角形
∴BC=AC，∠ACB=60º
∵CD=CE
∴⊿CDE为等边三角形
∴CE=DE，∠CDE=60º
∵EF=AE
∴DE+EF=CE+AE，即DF=AC
∴DF=BC
又∵∠BCE=∠FDC=60º，CD=CE
∴⊿BEC ≌⊿FCD (SAS )
（2）⊿ABDF为平行四边形
∵DF=BC
∴DF=AB
∵∠ABC =∠FDC =60º
∴AB//DF
∴四边形ABDF是平行四边形【对边平行且相等】

Answer 2

1、△ABE≌△ACF
证明：
∵等边△ABC
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60
∵CE＝CD
∴等边△CDE
∴∠CED＝60
∵∠AEF与∠CED为对顶角
∴∠AEF＝∠CED＝60
∵AE＝EF
∴等边△AEF
∴AF＝AE，∠EAF＝60
∴∠EAF＝∠BAC
∴△ABE≌△ACF （SAS）
2、平行四边形ABDF
证明：
∵AC＝BC，CD＝CE，AE＝AC-CE，BD＝BC-CD
∴BD＝AE
∵AE＝AF
∴BD＝AF
∵∠ACB＝60, ∠EAF＝60
∴∠ACB＝∠EAF
∴AF∥BC
∴平行四边形ABDF （对边平行且相等）