Question

已知x-y=a,z-y=10,试求代数式x的2次方+y的2次方+z的2次方-xy-yz-xz的值最小值

Answer 1

x-y=a z-y=10
x-z=a-10
x²+y²+z²-xy-yz-xz
=(x²-2xy+y²+y²-2yz+z²+x²-2xz+z²)/2
=[(x-y)²+(y-z)²+(x-z)²]/2
=(a²+100+a²-20a+100)/2
=a²-10a+100
=(a-5)²+75
>=75 所以最小值=75

Answer 2

因为x-y=a,z-y=10,所以x-z=a-10;
(x-y)平方=x平方-2xy+y平方=a平方;
(z-y)平方=z平方-2zy+y平方=100;
(x-z)平方=x平方-2xz+z平方=(a-10)平方;
以上3式相加得到:
2x平方+2y平方+2z平方-2xy-2yz-2xz=a平方+(a-10)平方+100
两边除以2得到:
x平方+y平方+z平方-xy-yz-xz=a平方-10a+100
等式右边:a平方-10a+100=a平方-10a+25+75=(a-5)平方+75;
所以,当a=5时,原式有最小值75