Question

设f(x)在[0,1] 上二阶可导 f(0)=f(1),f'(1)=1 存在ξ∈(0,1)使F''(ξ)=2

Answer 1

令g(x)=f(x)－x^2+x，则g(0)=f(0)=f(1)=g(1)，于是由Rolle中值定理，存在d位于（0，1），使得
g'(d)=0。注意到g'(x)=f'(x)－2x+1，和f'(1)=1知道g'(1)=0，
对g'(x)在【d，1】上用Rolle中值定理得存在c位于（0，1），使得g''(c)=0，
而g''(x)=f''(x)－2，于是f''(c)=2。证毕。