Question

已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项分别为An和Bn，

且An/Bn=7n+45/n+3，则使得an/b2n为整数的正整数n的个数

Answer 1

∵An/Bn=（7n+45）/（n+3）
An/Bn=[（a1+an)n/2]/[(b1+bn)n/2]
=(a1+an)/(b1+bn)
(a1+an)/(b1+bn)=（7n+45）/（n+3）
（下面需将an/bn------> [a1+ax]/[b1+bx]形式）
∴an/bn=(2an)/(2bn)
=[a1+a(2n-1)]/[b1+b(2n-1)]
=[7(2n-1)+45]/[(2n-1)+3]
=(14n+38)/(2n+2)
=(7n+19)/(n+1)
=[7(n+7)+12]/(n+1)
=7+12/(n+1)
∵an/b2n为整数
∴n+1=2,3,4,6,12
∴n=1,2,3,5,11共5个

没看清楚，是an/b2n
∵An/Bn=（7n+45）/（n+3）
∴An=kn(7n+45),Bn=kn(n+3)
k为常数
an=An-A(n-1)
=7kn^2+45kn-7k(n-1)^2 -45k(n-1)
=14kn+38k
bn=Bn-B(n-1)
=kn^2+3kn-k(n-1)^2-3k(n-1)
=2kn+2k
an/b2n=(14kn+38k)/(4kn+2k)
=(7n+19)/(2n+1)
=[7(2n+1)+31]/[2(2n+1)]
=7/2+31/（4n+2）
∴31/（4n+2）的小数部分为0.5，
分母应为62，4n+2=62，n=15
一个
(4n+2=6,10,14,18,20,24,.....,58均不合题意)

Answer 2

一个, n=15
本题是2012年徐州高三第二次模拟考试题