Question

设函数f（x）=ax^3+bx^2+cx+d=0的图像关于原点对称且x=2时f（x）取极大值16/3，（Ⅰ）求fx的表达式

（Ⅱ）求函数在区间（0，t)上的最大值最小值，（Ⅲ）设x1x2属于（-3,3）求证绝对值f(x1)-f(x2)≤32/3只要答案有过程也行急用

Answer 1

（I)f（x）=ax^3+bx^2+cx+d=0的图像关于原点对称,
∴f(-x)=-f(x），
∴b=d=0.f(x)=ax^3+cx,
x=2时f（x）取极大值16/3,
∴f(2)=8a+2c=16/3,
f'(x)=3ax^2+c,f'(2)=12a+c=0.
解得a=-1/3,c=4.
f(x)=-x^3/3+4x.

(II)f'(x)=-(x+2)(x-2),
x.........0....2.....
f'(x)......+......-
f(x)......↑......↓，
设函数在区间[0，t]上的最大值为M(t),最小值为m(t),则
0<t<=2时M(t)=f(t)=-t^3/3+4t,m(t)=f(0)=0.
t>2时M(t)=f(2)=16/3,
-t^3/3+4t>0,<==>2<t<2√3，
∴m(t)={0,2<t<2√3;
...........{-t^3/3+4t,t>=2√3.

（III)x1,x2∈（-3,3），f(-2)=-16/3,f(-3)=-3,f(3)=3,
∴f(x)|max=16/3,f(x)|min=-16/3,
∴|f(x1)-f(x2)|<=f(x)|max-f(x)|min=32/3.

Answer 2

解：1.,因为函数f（x）=ax^3+bx^2+cx+d=0的图像关于原点对称
所以b=0 d=0
f(x)=ax^3+cx
f'(x)=3ax^2+c
x=2时f（x）取极大值16/3
所以有12a+c=0 8a+2c=16/3
解得： a=-1/3 c=4
所以f(x)=-x^3/3+4x
2.f'(x)=-x^2+4
当t<=2时 最大值是-t^3/3+4t
当t>2时 最大值是 16/3
3.证明：根据函数的性质,结合函数额图像，以及极值
绝对值f(x1)-f(x2）的最大值是2*（16/3)=32/3
问题得证

Answer 3

（Ⅰ）A=-1/3 B=D=0 C=4