Question

HELP！！求∑(∞,n=1)2nx^2n-1的收敛域与和函数

Answer 1

收敛域：

主要是看前后两项的比值（比值判别法），小于1即可。

即lim 2nx^(2n-1)/[2(n-1)x^(2n-3)]=x^2

得知收敛区间后，就可以在收敛区间基础上计算收敛域，收敛域分为四种：左闭右开、左开右闭、全开和全闭，也就是x在等于左，右两个端点的敛散性，发散的情况为开区间，收敛的情况为闭区间。

扩展资料：

如果幂级数(1)既有不等于零的收敛点，又有发散点，则必存在唯一的正数R(0<R<+∞)，使得当x<|R|时，该幂级数绝对收敛；当x>|R|时，该幂级数发散。

当幂级数(1)只在x=0处收敛时，规定其收敛半径R=0；当它在整个数轴上都收敛时，规定其收敛半径R=+∞。

Answer 2

收敛域：lim  2nx^(2n-1)/[2(n-1)x^(2n-3)]=x^2<1。-1<x<1  。再单独考虑x=1或-1的情况，发现此时都不收敛。

和函数：因为x^2n的导数是2nx^(2n-1)。所以只需要求∑(∞,n=1)x^2n的和，再求导就可以了。上式的和为x^2/(1-x^2) 。

基于常值级数收敛性判定的比较审敛法，容易得到如下结论：

(1) 若幂级数(1)在点x=a(a≠0)处收敛，则它对于满足不等式|x|<|a|的一切x都绝对收敛。

(2) 若幂级数(1)在点x=a处发散，则它对于满足不等式|x|>|a|的一切x都发散。

如果幂级数(1)既有不等于零的收敛点，又有发散点，则必存在唯一的正数R(0<R<+∞)，使得当x<|R|时，该幂级数绝对收敛；当x>|R|时，该幂级数发散。

并称正数R称为幂级数(1)的收敛半径，而以原点为中心的对称区间(-R,R)称为幂级数(1)的收敛区间。通过判定收敛区间端点x=±R处的敛散性，容易计算得到幂级数(1)收敛域与发散域。

规定：当幂级数(1)只在x=0处收敛时，规定其收敛半径R=0；当它在整个数轴上都收敛时，规定其收敛半径R=+∞。

Answer 3

收敛域：
主要是看前后两项的比值，小于1即可
即lim 2nx^(2n-1)/[2(n-1)x^(2n-3)]=x^2<1
-1<x<1
再单独考虑x=1或-1的情况，发现此时都不收敛
所以收敛域为（-1，1）

和函数：
因为x^2n的导数是2nx^(2n-1)
所以只需要求∑(∞,n=1)x^2n的和，再求导就可以了
上式的和为x^2/(1-x^2) 【就是等比数列求和的公式，再取极限，公比小于1】
求导之后，结果为：
2x/[(1-x^2)^2]