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换元法，很简单而已，令x = 1/2 · tanz，dx = 1/2 · sec²zdz
√(1 + 4x²) = secz
∫ x³√(1 + 4x²) dx
= ∫ (1/8)tan³z · secz · (1/2)sec²z dz
= (1/16)∫ tan²zsec²z d(secz)
= (1/16)∫ (sec²z - 1)sec²z d(secz)
= (1/16)∫ (sec⁴z - sec²z) d(secz)
= (1/16)(1/5 · sec⁵z - 1/3 · sec³z) + C
= (1/16)[1/5 · (1 + 4x²)^(5/2) - 1/3 · (1 + 4x²)^(3/2)] + C
= (1/120)(6x² - 1)(1 + 4x²)^(3/2) + C
√(1 + 4x²) = secz
∫ x³√(1 + 4x²) dx
= ∫ (1/8)tan³z · secz · (1/2)sec²z dz
= (1/16)∫ tan²zsec²z d(secz)
= (1/16)∫ (sec²z - 1)sec²z d(secz)
= (1/16)∫ (sec⁴z - sec²z) d(secz)
= (1/16)(1/5 · sec⁵z - 1/3 · sec³z) + C
= (1/16)[1/5 · (1 + 4x²)^(5/2) - 1/3 · (1 + 4x²)^(3/2)] + C
= (1/120)(6x² - 1)(1 + 4x²)^(3/2) + C
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