Question

抛物线解析式Y=1/2x的平方+2x+1的顶点为p,A为抛物线与y州的交点，过A作Y轴垂直的直线交抛物线的另一点B

已知抛物线y=1/2x^2-2x+1的顶点为P，A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B，
2011-1-26 18:36 提问者： L没正事L | 浏览次数：1977次
与抛物线对称轴交于点0’，过点B和P的直线L交Y轴于点C，连接O'C，将三角形ACO'沿O'C翻折后，点A落在点D的位置
(1)求直线L的函数解析式
（2）求点D的坐标
（3）抛物线上是否存在点Q使得S三角形DQC=S三角形DPB？若存在，求出所有符合条件的

Answer 1

解：
（1）
∵Y=1/2x的平方+2x+1
=(1/2)X^2-2X+1
=(1/2)[X^2-4X+2]
=(1/2)[X^2-4X+4-2]
=(1/2)[(X-2)^2-2]
=(1/2)(X-2)^2-1
∴ 顶点P(2,-1),对称轴X=2
A为抛物线与y轴的交点,从而点A(0,1)
过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B,即与C轴平行，从而点B(4,1),点O'(2,1)

∴过点B(4,1)和P(2,-1)的直线L为:y=x-3
即直线L的函数解析式是 x-y-3=0
(2)
过点B和P的直线L交Y轴于点C,C点为(0,-3)
由O'(2,1),C(0,-3)得O'C直线方程是 y=2x-3
因为O'C对称到D 所以AD与O'C垂直 得直线AD斜率k=-1/2
从而直线AD方程为 y=-1/2x+1
直线AD与直线O'C交点是AD中点，为(1.6,0.2)
由点A(0,1)及线AD方程 y=-1/2x+1得D点(3.2,-0.6)

(3)
C点为(0,-3),D点(3.2,-0.6)
从而DC直线方程是 y=3/4x-3 则 3x-4y-12=0
点D(3.2,-0.6)到直线PBy=x-3的距离为 |3.2-(-0.6)-3|/[√(1^2+1^2)]=2√2/5
PB的长度是2√2
从而△原面积=1/2*2√2*2√2/5=4/5
C点(0,-3),D点(3.2,-0.6) DC的长度是|DC|=4.

若存在点Q，由Q到DC的距离是 d=2*s/|DC|=2*4/5/4=2/5
设点Q坐标为(x,((1/2)X^2-2X+1)
又DC直线方程为 3x-4y-12=0
从而点Q到DC的距离为|3X-4[(1/2)X^2-2X+1]-12|/[3^2+4^2]=|2*X^2-11X+16|/5=2/5
则 |2*X^2-11X+16|=2
从而 2*X^2-11X+16=2 或2*X^2-11X+16=-2
由 2*X^2-11X+16=2得 x=5,y=7/2 或 x=1/2,y=1/8
而 2*X^2-11X+16=-2无解
∴所有符合条件的Q点是 (5,7/2),(1/2,1/8)

Answer 2

解：（1）∵Y=1/2x的平方+2x+1 =(1/2)X^2-2X+1 =(1/2)[X^2-4X+2] =(1/2)[X^2-4X+4-2] =(1/2)[(X-2)^2-2] =(1/2)(X-2)^2-1∴ 顶点P(2,-1),对称轴X=2 A为抛物线与y轴的交点,从而点A(0,1) 过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B,即与C轴平行，从而点B(4,1),点O'(2,1)∴过点B(4,1)和P(2,-1)的直线L为:y=x-3即直线L的函数解析式是 x-y-3=0(2)过点B和P的直线L交Y轴于点C,C点为(0,-3)由O'(2,1),C(0,-3)得O'C直线方程是 y=2x-3因为O'C对称到D 所以AD与O'C垂直 得直线AD斜率k=-1/2从而直线AD方程为 y=-1/2x+1直线AD与直线O'C交点是AD中点，为(1.6,0.2)由点A(0,1)及线AD方程 y=-1/2x+1得D点(3.2,-0.6)(3)C点为(0,-3),D点(3.2,-0.6)从而DC直线方程是 y=3/4x-3 则 3x-4y-12=0点D(3.2,-0.6)到直线PBy=x-3的距离为 |3.2-(-0.6)-3|/[√(1^2+1^2)]=2√2/5PB的长度是2√2从而△原面积=1/2*2√2*2√2/5=4/5C点(0,-3),D点(3.2,-0.6) DC的长度是|DC|=4.若存在点Q，由Q到DC的距离是 d=2*s/|DC|=2*4/5/4=2/5设点Q坐标为(x,((1/2)X^2-2X+1)又DC直线方程为 3x-4y-12=0从而点Q到DC的距离为|3X-4[(1/2)X^2-2X+1]-12|/[3^2+4^2]=|2*X^2-11X+16|/5=2/5则 |2*X^2-11X+16|=2从而 2*X^2-11X+16=2 或2*X^2-11X+16=-2由 2*X^2-11X+16=2得 x=5,y=7/2 或 x=1/2,y=1/8而 2*X^2-11X+16=-2无解∴所有符合条件的Q点是 (5,7/2),(1/2,1/8)