Question

如图，在RT三角形AOB中，O为坐标原点，角AOB=90度，角B=30度

如果A在反比例函数y=x分之1(x>0)图上运动，那么点B在函数？图像上运动？

Answer 1

如图，在RT△AOB中，O为坐标原点，∠AOB=90°，∠B=30° 如果A在反比例函数y=1/x，(x>0)图上运动，那么点B在什么函数图像上运动？
解：因为点A在反比例函数y=1/x上运动，故可设A点的坐标为(m，1/m)(m>0)，
︱OA︱=√[m²+(1/m²)]=(1/m)√(m⁴+1)
OB=OAtan60°=(1/m)√[3(m⁴+1)]
设B点的坐标为(x，y)，OA 的倾角为t，则：
x=︱OB︱cos(90°+t)=-(1/m)√[3(m⁴+1)]sint............(1)
y=︱OB︱sin(90°+t)=(1/m)√[3(m⁴+1)]cost.............(2)
(1)÷(2)得x/y=-sint/cost=-tant=-(1/m)/m=-1/m²，即有m²=-y/x (x<0)...........(3)
(1)²+(2)²得：
x²+y²={-(1/m)√[3(m⁴+1)]sint}²+{(1/m)√[3(m⁴+1)]cost}²=3(m⁴+1)/m²=3(m²+1/m²).........(4)
将(3)代入(4)即得B点的轨迹方程为：
x²+y²=3[(-y/x)-(x/y)]=-3(y²+x²)/xy
也就是xy(x²+y²)+3(x²+y²)=(x²+y²)(xy+3)=0
∵x²+y²≠0，∴必有xy+3=0，即有y=-3/x (x<0)，即B点在一个处于第二象限中的反比例函数的
图像上运动。

Answer 2

设B点坐标（x，y），A点坐标（m,1/m）m>0。(从图形中可以看出x>0,y<0)
直角三角形，角B又是30°，满足：｜OA｜：｜OB｜：｜AB｜=1：根号3：2
也就就是满足：｜OA｜={｜OB｜/根号3}={｜AB｜/2}
根据距离方程列式。消除m
y=-3/x

Answer 3

过A做AM⊥y轴于M过B做BN⊥x轴于N，设A（m,n）B (x,y)易证△AMO∽△ONB ，S △AMO：S△ONB=（OA：OB）²=3可得3mn=▏xy ▏ ∵mn=1∴ ▏xy ▏=3 ∵点B在第四象限 ∴xy=-3∴
y= - 3／x