Question

已知实数a，b满足a^2+b^2=1, 则a^4+ab+b^4的最小值是？

Answer 1

1年后的今天有人问了这道题目，我觉得你采纳的答案不对，因此才贴了上来。

∵(a-b)²≥0
∴a²+b²≥2ab 恒成立
∴1≥2ab
∴ ab≤1/2
化简：
a^4+ab+b^4
=(a²+b²)²-2(ab)²+ab
=1-2(ab)²+ab
=-2(ab-1/4)²+9/8
此简式没有最小值，当ab=1/4时，有最大值9/8

Answer 2

a^2+b^2=1
所以
a^4+b^4+2a^2b^2=1，
a^4+ab+b^4
=a^4+b^4+2a^2b^2-2a^2b^2+ab
=1-2（a^2b^2-ab/2+1/16-1/16）
=9/8-2（ab-1/4）^2
此时求的ab的最小值就是这个的最小值
a^2+b^2>=-2ab ab>=-1/2
所以最小值：9/8-2（ab-1/4）^2=0

Answer 3

解：令a=cosm,b=sinm(0<=m<=360度)，则ab=sin(2m)/2
a^4+ab+b^4=-(sin(2m))²/2+sin(2m)/2+1
当sin（2m）=-1时取最小值为0

Answer 4

(a^2+b^2)^2-2a^b^2+ab
=1+ab-2a^2b^2
=-2(ab-1/4)^2+7/8
a^2+b^2>=2ab
2ab<=1
ab<=1/2
ab=1/2时
最小=3/4

Answer 5

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