Question

已知实数a,b满足a²+b²=1,则a4+b4+ab的最小值为

Answer 1

a^4+b^4=(a+b）-2ab+ab=1-2(ab)+ab
设x=ab，则有f(x)=-2x+x+1
很显然，该函数所标示的为一
抛物线
，且抛物线开口向下，应该只有最大值。
但是，a+b=(a+b)-2ab=1，所以(a+b)=1+2ab>0，所以ab>-1/2
即f(x)=-2x+x+1中，x>-1/2
同样的，a+b=(a-b)+2ab=1，所以(a-b)=1-2ab>0，所以ab<1/2
即f(x)=-2x+x+1中，-1/2<x<1/2
因此，比较x取不同值时的f(x)的值，得x=-1/2最小值为：0

Answer 2

a^4+b^4=(a²+b²）²-2a²b²+ab=1-2(ab)²+ab
设x=ab，则有f(x)=-2x²+x+1
很显然，该函数所标示的为一抛物线，且抛物线开口向下，应该只有最大值。
但是，a²+b²=(a+b)²-2ab=1，所以(a+b)²=1+2ab>0，所以ab>-1/2
即f(x)=-2x²+x+1中，x>-1/2
同样的，a²+b²=(a-b)²+2ab=1，所以(a-b)²=1-2ab>0，所以ab<1/2
即f(x)=-2x²+x+1中，-1/2<x<1/2
因此，比较x取不同值时的f(x)的值，得x=-1/2最小值为：0