Question

高二数学。 关于排列问题。谢谢，

某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
这一类的题我都不会做，能不能帮我总结一下，谢啦~

Answer 1

对于这类的题目，首先要明了的是容斥原理。

在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。（这一段是百度百科）

然后再来看我们这个题目。我们先看不考虑甲乙特殊情况的排列：十人中挑出四个排列。

       4

    A

       10

然后就是要减去甲到银川，乙到西宁的情况。甲到银川的情况有多少种呢？甲到银川，其余九人中选出三人排列。是    3

                                 A

                                     9

同样的，减去乙到西宁的情况也是这么多。然后就是容斥原理的使用。我们减去了所有甲到银川的情况，这其中包括甲到银川同时乙到西宁的情况，  2

                                                                         这是A

                                                                                    8

然后我们又减去乙到西宁的情况，这里面也包括了甲到银川同时乙到西宁的情况。也就是说，我们把甲到银川同时乙到西宁的情况减了两次，实际只能减一次。所以再加一次回来。

最后结果就是   4          3           3         2

                      A       —A       —A      +A

                          10         9          9         8

排列组合的题目，要学会使用整体考虑，结合容斥原理来做。再回顾一次这个题目，我们把10人中抽出4个排列，叫做全排列。把全排列分为几类，甲不在银川且乙不在西宁的，甲在银川的，乙在西宁的。如图。看着图，再来看这个算式就很容易懂了。全排列—甲在银川—乙在西宁+甲在银川且乙在西宁=甲不在银川且乙不在西宁。

追问

嗯，我懂了。还是这样想简单些。

Answer 2

假设选中甲没选中乙: 3*A38=3*8*7*6=1008
假设选中乙没选中甲: 3*A38=3*8*7*6=1008
假设甲乙都选中：7*A82=7*8*7=392
假设甲乙都为选中：A84=8*7*6*5=1680
总共4088种

追问

假设甲乙都选中：7*A82=7*8*7=392
能不能问一下7是怎么出来的？我不太懂……

Answer 3

先选人，有四种情况
1.没有甲乙
2.有甲没乙
3.有乙没甲
4.都有
再根据这四种情况分别算方案，最后相加。
1.没有甲乙
此时，不用担心分配问题，C(10)(4)A(4)(4)
2.有甲没乙
肯定有甲，只用再选三人，并考虑甲的分配问题，还有三个地方可以选择，C(10)(3)C(3)(1)A(3)(3)
3.有乙没甲
和2的情况相同，只是换了个人罢了。
4.都有
此时，再选两人，分配问题先考虑甲（两种情况，选择西宁和选择非西宁，这对乙的选择有影响），因此这一类中又分两种情况（1）甲去西宁乙从其他三个中选择，剩下全排C(10)(2)C(3)(1)A(2)(2)。（2）甲没去西宁（另外两个二选一），乙从剩下两个中选择，其他人全排C(10)(2)C(2)(1)C(2)(1)A(2)(2)
因此，答案是C(10)(4)A(4)(4)+2*C(10)(3)C(3)(1)A(3)(3)+C(10)(2)C(3)(1)A(2)(2)+C(10)(2)C(2)(1)C(2)(1)A(2)(2)

Answer 4

（1）若甲到西宁，则其它三人可任意选择，有3*2*1=6种情况
（2）若甲不到西宁，甲有2种选择，乙有2种选择，其它两人可任意选择2*1中选择，
此时与2*2*2=8种情况
所以共有6+8=14种不同派遣方案