Question

已知a,b,为实数a^3+b^3=2，求证：0<a+b<2

Answer 1

a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)=2
a^2+b^2-ab=(a-0.5b)^2+0.75b^2>=0 【这里不可能取到0，所以为正数】
所以a+b>0【2除以正数，结果还是正数】
设m=a+b 4ab<=(a+b)^2 ab<=m^2/4
a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)=m(m^2-3ab)>=m(m^2-3m^2/4)=m^3/4
即2>=m^3/4
m^3<=8
m<=2 【a=b=1时，取等号】
所以0<a+b<2【其实等号可以取到】

Answer 2

a^3+b^3=2，求证：0<a+b≤2
(a=b=1时，a+b=2成立呀！）
2=a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
∵a^2-ab+b^2=(a-b/2)^2+3b^2/4>0
∴a+b>0
下面用反证法证明a+b≤2
假设a+b>2,则b>2-a
∴ b^3>(2-a)^3=8-12a+6a^2-a^3
∴2=a^3+b^3>8-12a+6a^2
∴ a^2-2a+1<0
∴(a-1)^2<0 矛盾
∴a+b≤2
综上所述，0<a+b≤2

Answer 3

用立方和公式。(a+b)^3-a2-b^2-3ab-a^2b-b^2 a =2结合下。(a+b)^3-(a+b)^2-(a+b)﹡ab=2.由式可得(a+b)《（a+b）^2-(a+b)-ab》=2,可知大括号里面数恒大于零。可得。

Answer 4

a>0 b>0 a+b<a^3+b^3