Question

从1.2.3.4.5.。。。。N中，任取57个数，使57个数必有2个数的差是13，问N的最大值是几？

Answer 1

参考http://zhidao.baidu.com/question/245753410.html的解答。

在1、2、3、…、n中，我们考虑它们对13的余数，然后按其结果进行分组：
1、2、3、…、13 （把余数是0的，也就是能整除的余数记为13）
在这13组数中：每个数都可以表示成 13m+k的形式，其中k=1、2、…、13，而 m=0、1、2、…我们称k为余数，m为基数。

一、任意两组之间的数，因为余数不相等，所以其差不可能是13的倍数，也就不可能是13
二、在同一组数中，因为余数相等，任意两个数的差肯定是13的倍数。如果同一组中有相邻基数的同余序列，那么它们的差就是13，
要使57个数被分配在13个序列中，同一组数不能取相邻基数的。
57=13*4+5=(8+5)*4+5
要使57个数之间任意两个都不等13，n取最小值时，每组数中被分配的基数差要>=2，在13个序列中，有8个长度为8，5个长度为9，那么n=8*8+5*9=109,所以，要使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值是108
[以上是解法和证明过程，下面是具体的取法]
具体到数的取法上，有两个方面：
A、在1,2,3,...108这组数中，我们可以这么取：
1-13
27-39
53-65
79-91
4组各13个，再加4个 (13*4+4=56)
105,106,107,108
这56个数可以保证两两的差都不等于13，再加进去1-108中其他的数肯定会与前面四组的基相差1，结果差就会是13
这就可以证明，从1-108中取57个肯定会有两个数的差是13

B、
A、在1,2,3,...108这组数中，我们可以这么取：
1-13
27-39
53-65
79-91
4组各13个，再加5个 (13*4+5=57)
105,106,107,108,109
这57个数可以保证两两的差都不等于13
所以要使取得57个数中肯定有两个数的差是13，那么n=108是最大的。