从1,2,3……，n中。任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为（ ）
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解答过程如下：
根据两数之差不能为13，构造(1、14、27、40、……)、(2、15、28、41、……)、(3、16、29、42、)、……、(13、26、39、……)。
每个括号中均不能取连续的两个数，现要求任取57个数必有两数差为13时，n的最大值.那考虑取57个可能没有两数之差为13时，n的最小值，显然每组数中取第1、3、5、7、……个数可使n最小。
相当于每26个数取前13个数，那么要取57个数，57÷13=4……5，n最小为26×4+5=109，即n为109时就能满足取57个数且可能没有两数之差为13的情况。
当n为108时，必然有两个数之差为13，所以n的最大值为108。
扩展资料
求最大值的方法：
已知的数据中的最大的一个值，在数学中，常常会求函数的最大值，一般求解方法有换元法、判别式求法、函数单调性求法、数形结合法和求导方法。
用换元法求最值主要有三角换元和代数换元，用换元法要特别注意中间变量的范围。主要适用于可化为关于自变量的二次方程的函数。
先判定函数在给定区间上的单调性，而后依据单调性求函数的最值。将函数值进行比较，最大者即为最大值。
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在1,2,3....n中，我们考虑它们对13的余数，然后按其结果进行分组：
1、2、3.....13 (把余数是0的，也就是能整除的余数记为13)
在这13组数中：每个数都可以表示成 13m+k的形式，其中k=1,2,...13，而 m=0,1,2...我们称k为余数，m为基数。
一、任意两组之间的数，因为余数不相等，所以其差不可能是13的倍数，也就不可能是13
二、在同一组数中，因为余数相等，任意两个数的差肯定是13的倍数。如果同一组中有相邻基数的同余序列，那么它们的差就是13，
要使57个数被分配在13个序列中，同一组数不能取相邻基数的。
57=13*4+5=(8+5)*4+5
要使57个数之间任意两个都不等13，n取最小值时，每组数中被分配的基数差要>=2，在13个序列中，有8个长度为8，5个长度为9，那么n=8*8+5*9=109,所以，要使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值是108
[以上是解法和证明过程，下面是具体的取法]
具体到数的取法上，有两个方面：
A、在1,2,3,...108这组数中，我们可以这么取：
1-13
27-39
53-65
79-91
4组各13个，再加4个 (13*4+4=56)
105,106,107,108
这56个数可以保证两两的差都不等于13，再加进去1-108中其他的数肯定会与前面四组的基相差1，结果差就会是13
这就可以证明，从1-108中取57个肯定会有两个数的差是13
B、
A、在1,2,3,...108这组数中，我们可以这么取：
1-13
27-39
53-65
79-91
4组各13个，再加5个 (13*4+5=57)
105,106,107,108,109
这57个数可以保证两两的差都不等于13
所以要使取得57个数中肯定有两个数的差是13，那么n=108是最大的。
1、2、3.....13 (把余数是0的，也就是能整除的余数记为13)
在这13组数中：每个数都可以表示成 13m+k的形式，其中k=1,2,...13，而 m=0,1,2...我们称k为余数，m为基数。
一、任意两组之间的数，因为余数不相等，所以其差不可能是13的倍数，也就不可能是13
二、在同一组数中，因为余数相等，任意两个数的差肯定是13的倍数。如果同一组中有相邻基数的同余序列，那么它们的差就是13，
要使57个数被分配在13个序列中，同一组数不能取相邻基数的。
57=13*4+5=(8+5)*4+5
要使57个数之间任意两个都不等13，n取最小值时，每组数中被分配的基数差要>=2，在13个序列中，有8个长度为8，5个长度为9，那么n=8*8+5*9=109,所以，要使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值是108
[以上是解法和证明过程，下面是具体的取法]
具体到数的取法上，有两个方面：
A、在1,2,3,...108这组数中，我们可以这么取：
1-13
27-39
53-65
79-91
4组各13个，再加4个 (13*4+4=56)
105,106,107,108
这56个数可以保证两两的差都不等于13，再加进去1-108中其他的数肯定会与前面四组的基相差1，结果差就会是13
这就可以证明，从1-108中取57个肯定会有两个数的差是13
B、
A、在1,2,3,...108这组数中，我们可以这么取：
1-13
27-39
53-65
79-91
4组各13个，再加5个 (13*4+5=57)
105,106,107,108,109
这57个数可以保证两两的差都不等于13
所以要使取得57个数中肯定有两个数的差是13，那么n=108是最大的。
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在1,2,3....n中，我们考虑它们对13的余数，然后按其结果进行分组：
1、2、3.....13 (把余数是0的，也就是能整除的余数记为13)
在这13组数中：每个数都可以表示成 13m+k的形式，其中k=1,2,...13，而 m=0,1,2...我们称k为余数，m为基数。
一、任意两组之间的数，因为余数不相等，所以其差不可能是13的倍数，也就不可能是13
二、在同一组数中，因为余数相等，任意两个数的差肯定是13的倍数。如果同一组中有相邻基数的同余序列，那么它们的差就是13，
要使57个数被分配在13个序列中，同一组数不能取相邻基数的。
57=13*4+5=(8+5)*4+5
要使57个数之间任意两个都不等13，n取最小值时，每组数中被分配的基数差要>=2，在13个序列中，有8个长度为8，5个长度为9，那么n=8*8+5*9=109,所以，要使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值是108
[以上是解法和证明过程，下面是具体的取法]
具体到数的取法上，有两个方面：
A、在1,2,3,...108这组数中，我们可以这么取：
1-13
27-39
53-65
79-91
4组各13个，再加4个 (13*4+4=56)
105,106,107,108
这56个数可以保证两两的差都不等于13，再加进去1-108中其他的数肯定会与前面四组的基相差1，结果差就会是13
这就可以证明，从1-108中取57个肯定会有两个数的差是13
B、
A、在1,2,3,...108这组数中，我们可以这么取：
1-13
27-39
53-65
79-91
4组各13个，再加5个 (13*4+5=57)
105,106,107,108,109
这57个数可以保证两两的差都不等于13
所以要使取得57个数中肯定有两个数的差是13，那么n=108是最大的。
1、2、3.....13 (把余数是0的，也就是能整除的余数记为13)
在这13组数中：每个数都可以表示成 13m+k的形式，其中k=1,2,...13，而 m=0,1,2...我们称k为余数，m为基数。
一、任意两组之间的数，因为余数不相等，所以其差不可能是13的倍数，也就不可能是13
二、在同一组数中，因为余数相等，任意两个数的差肯定是13的倍数。如果同一组中有相邻基数的同余序列，那么它们的差就是13，
要使57个数被分配在13个序列中，同一组数不能取相邻基数的。
57=13*4+5=(8+5)*4+5
要使57个数之间任意两个都不等13，n取最小值时，每组数中被分配的基数差要>=2，在13个序列中，有8个长度为8，5个长度为9，那么n=8*8+5*9=109,所以，要使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值是108
[以上是解法和证明过程，下面是具体的取法]
具体到数的取法上，有两个方面：
A、在1,2,3,...108这组数中，我们可以这么取：
1-13
27-39
53-65
79-91
4组各13个，再加4个 (13*4+4=56)
105,106,107,108
这56个数可以保证两两的差都不等于13，再加进去1-108中其他的数肯定会与前面四组的基相差1，结果差就会是13
这就可以证明，从1-108中取57个肯定会有两个数的差是13
B、
A、在1,2,3,...108这组数中，我们可以这么取：
1-13
27-39
53-65
79-91
4组各13个，再加5个 (13*4+5=57)
105,106,107,108,109
这57个数可以保证两两的差都不等于13
所以要使取得57个数中肯定有两个数的差是13，那么n=108是最大的。
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