Question

已知方程x1+x2+x3+x4=100 满足x大于等于i(i=1.2.3.4.)的整数解的组数

Answer 1

x1+x2+x3+x4=100 满足xi大于等于i(i=1.2.3.4.)的整数解的组数
令yi=xi-i 则yi≥0 (i=1,2,3,4)
xi=yi+i (i=1,2,3,4)
代入原方程，得
y1+y2+y3+y4=90
因此问题转化为求上面的方程的非负整数解，解的个数为
从93个元素中取3个元素的组合数C(93,3)=（93×92×91）/（1×2×3）=129766
（在93个位置上选三个位置写0，其余位置写1，共90个1，比如第一个0的前面有5个1，第一个与第二个0中间有15个1，第二个与第三个0中间有7个1，则第三个0后面有63个1，则有一个解为y1=5，y2=15，y3=7,y4=63;等等）

Answer 2

x1 + x2 = 3 （1组） x3 + x4 = 97 （91组）
x1 + x2 = 4 （2组） x3 + x4 = 96 （90组）
x1 + x2 = 5 （3组） x3 + x4 = 95 （89组）
。。。。。。。。。。。。。
x1 + x2 = 93 （91组） x3 + x4 = 7 （1组）
总组数 = 1×91 + 2×90 + 3×89 + ... + 91×1 = 129,766