Question

f(x)在(a，+∞)内二次可微，f(a)＞0，f(x)的导数小于0，且在(a，+∞)上有....

设f(x)在(a，+∞)内二次可微，f(a)＞0，f(x)的导数小于0，并且在(a，+∞)上有f(x)的二阶导数小于0．证明f(x)在(a，+∞)内仅有一个零点

Answer 1

先证明存在性。由于f''(x)<0，于是f'(x)是递减函数，故f'(x)<f'(a)<0，
于是当x>a－f(a)/f'(a)时，有f'(a)(x－a)+f(a)<0，故由微分中值定理得
f(x)=f(a)+f'(c)(x－a)<f(a)+f'(a)(x－a)<0，再由连续函数的介值定理得
f(x)有一个零点。
再证明唯一性。由于f'(x)<0，故f(x)是严格递减函数，因此零点是惟一的。

Answer 2

先证明存在性。由于f''(x)<0，于是f'(x)是递减函数，故f'(x)<f'(a)<0，
于是当x>a－f(a)/f'(a)时，有f'(a)(x－a)+f(a)<0，故由微分中值定理得
f(x)=f(a)+f'(c)(x－a)<f(a)+f'(a)(x－a)<0，再由连续函数的介值定理得
f(x)有一个零点。
再证明唯一性。由于f'(x)<0，故f(x)是严格递减函数，因此零点是惟一的。

Answer 3

不知道