Question

如图，在三角形ABC中，AB=AC，D是三角形ABC外一点，且角ABD=角ACD=60度，求证；BD+DC=AB

不能用四点共圆证

Answer 1

延长BD,并在BD的延长线上取一点M，使DM=CD，
角ADM=90度+1/2角BDC，
角ADC=角ADB+角BDC=90度-1/2角BDC+角BDC=90度+1/2角BDC，
所以角ADM=角ADC。
此时在三角形ACD和三角形ADM中，AD=AD，CD=DM，角ADC=角ADM，
所以三角形ADC全等于三角形ADM（SAS）。
所以AC=AM，又因为AB=AC，所以AM=AB。
又因为角ABD=60度，所以三角形ABM为等边三角形。
所以AB=BM，又因为CD=DM，
∴AB=BD+DC
2.证明:延长BD到E,使DE=DC,连接AE、CE
∵∠ABD=∠ACD=60°
∴ABCD四点共圆
∴∠BDC=∠BAC=（1/2）弧BC
∴∠CAD=∠CBD=（1/2）弧CD
∴∠ADB=∠ACB=（1/2）弧AB
在△ADC和△ADE中
∠ADC= ∠ACB+∠BAC
∠ADE=∠ABE+∠BAD
=∠ABE+∠BAC+∠CAD=∠ABE+∠CBD+∠BAC
=∠ABC+∠BAC
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∴∠ADC=∠ADE
∵CD=DE(已做）
AD=AD（公共边）
∴△ADC≌△ADE
∴AE=AC
∴AE=AB
∴△ABE是等边三角形
∴BE=AB
∵BE=BD+DE=BD+DC
∴AB=BD+DC
法3.已知△ABC中,AB=AC,D是三角形外一点,且∠ABD=∠ACD=60°,求证:BD+DC=AB

延长BD至E，使BE=AB，∵∠ABD=60°∴△ABE是等边三角形
同理可作等边三角形ACF
--->△ADE≌△ADC，△ADF≌△ADB
--->DE=DC,DF=DB
--->BD+DC=BD+DE=DF+DC=AC=AB
前2个方法都是四点共圆，只有第三个不是