n∈R+用放缩法证明1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<5/3
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证明：
n>1时
1/n²<1/(n²-1)=1/[(n-1)(n+1)]=[1/(n-1)-1/(n+1)]/2
所以
左<1+1/4+(1/2)[1/2-1/4+1/3-1/5+1/4-1/6+......+1/(n-2)-1/n+1/(n-1)-1/(n+1)]
=1+1/4+(1/2)[1/2+1/3-1/n-1/(n+1)]
<5/4+(1/2)*(1/2+1/3)
=5/4+(1/2)*(5/6)
=5/4+5/12
=5/3
得证。
n>1时
1/n²<1/(n²-1)=1/[(n-1)(n+1)]=[1/(n-1)-1/(n+1)]/2
所以
左<1+1/4+(1/2)[1/2-1/4+1/3-1/5+1/4-1/6+......+1/(n-2)-1/n+1/(n-1)-1/(n+1)]
=1+1/4+(1/2)[1/2+1/3-1/n-1/(n+1)]
<5/4+(1/2)*(1/2+1/3)
=5/4+(1/2)*(5/6)
=5/4+5/12
=5/3
得证。
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