Question

高中数学求定积分的题，有一步看不懂

∫[-2，1] 1/(11+5x)^3 dx
=1/5∫[-2，1] (11+5x)^(-3) d(11+5x)
这一步是怎么来的？

Answer 1

∫[-2，1] 1/(11+5x)^3 dx
=1/5∫[-2，1] (11+5x)^(-3) d(11+5x)

因为 d(11+5x)=5dx
所以 dx=(1/5)d(11+5x) 带入就好了

d(11+5x)=5dx，
这个就相当于y=5x+11
y'=5
所以
微分
d(5x+11)=y'dx=5dx

这个是换元，d后面的式子对x求导数可以放到前面，等于原式子。所以把他化为这个形式可以设（11+5x）=y，换完积分就变得简单可积了

为d(11+5x)=5dx
所以 原式=∫1/5*5 [-2，1] 1/(11+5x)^3 dx=1/5∫5* [-2，1] (11+5x)^(-3) dx==1/5∫[-2，1] (11+5x)^(-3) d(11+5x)

Answer 2

这个是换元，d后面的式子对x求导数可以放到前面，等于原式子。所以把他化为这个形式可以设（11+5x）=y，换完积分就变得简单可积了。

Answer 3

因为d(11+5x)=5dx
所以 原式=∫1/5*5 [-2，1] 1/(11+5x)^3 dx=1/5∫5* [-2，1] (11+5x)^(-3) dx==1/5∫[-2，1] (11+5x)^(-3) d(11+5x)

Answer 4

∫[-2，1] 1/(11+5x)^3 dx
=1/5∫[-2，1] (11+5x)^(-3) d(11+5x)

因为 d(11+5x)=5dx
所以 dx=(1/5)d(11+5x) 带入就好了

追问

为什么d(11+5x)=5dx，我们老师说dx的含义是△x表示的是区间长度，这个是什么公式定理吗？我们刚刚开始学这里，有点不明白

追答

d(11+5x)=5dx，
这个就相当于y=5x+11
y'=5
所以
微分
d(5x+11)=y'dx=5dx