Question

迫不及待！！！数学达人请支招，帮忙详细解释一道填空题，根据回答的具体程度再额外追加悬赏分5~50，谢谢

接上：如题：
已知a∈R，若关于x的方程x²+x+|a-(1/4)|+|a|=0有实根，则a的取值范围是？

该题答案为【0,1/4】，老师的课后讲解是：关于x的方程有实根，则只需△=1-4【|a-(1/4)|+a】≥0，即|1/4-a|≤1/4-|a|，即-（1/4-|a|）≤1/4-a≤1/4-|a|，化简即可求解。

但是我的数学太薄弱了，还是不太明白。特别是关于去绝对值之类的，不懂得怎么去变形，恳请数学达人再详细解释一下这道题的解法（我们老师的这种化简绝对值符号的解法），O(∩_∩)O谢谢，根据回答的具体程度再额外追加悬赏分5~50，辛苦了！！！
谢谢，请问：|1/4-a|≤1/4-|a|这一步，是根据什么而想到这样化简的？（为什么可以这样化简？）

Answer 1

方程有实根，则

△=b^2-4ac≥0

则，|1/4-a|+|a|≤1/4

在坐标轴中令1/4-a=0，a=0，则可求得a的两个节点值，分别为

a=1/4，a=0

当a<0时，公式可简化为a-1/4+(-a)≤1/4，可求得此时a≥0，矛盾，舍去

当a=0时，公式简化为1/4≤1/4，成立

当0<a<1/4时，公式可简化为1/4-a+a≤1/4，得1/4≤1/4，成立

当a≥1/4时，公式可简化为a-1/4+a≤1/4，得a≤1/4，矛盾，此时只能去a=1/4

因此a的取值范围为[0,1/4]

追问

O(∩_∩)O谢谢，您的解答很详细，还有插图，O(∩_∩)O哈！请问您能解释一下吗？：关于上题的“|1/4-a|≤1/4-|a|”，由【|a-(1/4)|+a】这个式子，为什么就能推出“|1/4-a|≤1/4-|a|？”
其实我是被绝对值的符号所迷惑了...

追答

【|a-(1/4)|+a】推不出“|1/4-a|≤1/4-|a|”
原来后面的是你自己推倒出来的？？我是推不出的，直接按你推倒出来的进行计算的。
如果是按原来的话，那就只有一个绝对值了，这样更简单，直接将a和1/4进行比较去绝对值。

追问

O(∩_∩)O谢谢，我就是不明白这个，这不是我推出来的，是课后老师给我解释的，他解释了很久，不过我还是不太明白...

追答

是你老师解释错误呢还是你打错字了？？你看下题目和你打的字，明显存在问题。
△=1-4[|a-(1/4)|+|a|]≥0
|a-(1/4)|+|a|≤1/4
|a-(1/4)|≤1/4-|a|
这样就可以了

追问

O(∩_∩)O谢谢您温馨的解答，您的数学功底真够雄厚的，上面那道题，老师写给我的解释，确实是：△=1-4【|a-(1/4)|+a】≥0，按您所提示的，应该是△=1-4【|a-(1/4)|+|a|】≥0才对。可能是老师最近太忙了，今天晚上的晚修也不回学校，明天还得出去别的学校里取资料。我想顺便请教您：关于数轴标根法，奇穿偶不穿，是什么意思？在标根的时候，怎样确定先从哪里开始？谢谢！！！

追答

研究生多快毕业了，回过头来做这些题目，感慨啊，人生不过是浮云一场！！
奇穿偶不穿应用于连乘函数
令f(x)=(x-a1)^b1(x-a2)^b2(x-a3)^b3...(x-an)^bn
bn为x函数的冥次
当bn为奇数时，关于x函数(x-an)^bn有可能为负数
当bn为偶数时，关于x函数(x-an)^bn肯定为偶数
在判定函数f(x)>0或0，则从数轴最左边上方开始连线
若c0
但为了计算方便将f(x)改为f(a)=[|1/4-a|+|a|]-1/40，因此连线时从数轴最左边上方开始，如我之前给你画的那个数轴
当a<0时，f(a)=[(1/4-a)+(-a)]-1/4=0
这与条件f(a)=[|1/4-a|+|a|]-1/4<0矛盾，因此要舍去
你只要按照该方法在每个区间内对其进行讨论舍去与条件矛盾值，取符合条件值就可以了

6楼的解题方法也是很不错的，但是其本质上还是要将绝对值内的函数值设为0，求出此时的a值。其对动点的讨论其实就是对a值在不同区间时，函数f(a)值范围的讨论。
本题函数f(a)=[|1/4-a|+|a|]-1/4，绝对值内的参数1/4正好与函数f(a)的参数1/4相等，若将函数,改为f(a)=[|1/4-a|+|a|]-1/2，则采用6楼的方法时还需要进步计算。动点位置不确定，在计算本质上还是要去绝对值的。

Answer 2

高一数学，我直接讲△=1-4【|a-(1/4)|+a】≥0以后的，怎么来的△=1-4【|a-(1/4)|+a】≥0不用我说了吧
-（1/4-|a|）≤1/4-a≤1/4-|a|
即|a|-1/4≤1/4-a≤1/4-|a|
先看右边，1/4-a≤1/4-|a|，化简为|a|≤a,即是0≤a
再看左边，|a|-1/4≤1/4-a，由上得出0≤a，则左边化简为a-1/4≤1/4-a,即a≤1/4
故a的取值范围是【0,1/4】

追问

O(∩_∩)O谢谢！！其实我是不太明白|1/4-a|≤1/4-|a这一步

追答

你说的是哪步？移项知道吗？小朋友，不要着急为什么不会化简，因为你还不熟练，或者你刚刚接触这类问题。就好比小学的时候学加减法觉得难，现在你学不等式觉得不明白，等你多做多看了以后，你就会觉得它像加减法一样简单......

追问

O(∩_∩)O谢谢，移项，我还是懂得的，我想不明白的是这个“|1/4-a|≤1/4-|a|”，由【|a-(1/4)|+a】这个式子，为什么就能推出“|1/4-a|≤1/4-|a|？”
其实我是被绝对值的符号所迷惑了...

追答

【|a-(1/4)|+a】这个式子应该是【|a-(1/4)|+|a|】

Answer 3

另一方法：我给你讲一个很好理解的方法，并且起点不高，对于不等式 |a-(1/4)|+|a| ≤1/4 的解

    有初一绝对值的知识就够了，要耐着性子看哦。

 

    对方程 x²+x+|a-(1/4)|+|a|=0 做如下变形：

      x²+x  =  - [  |a-(1/4)|+|a|  ]

          x² + x + 1/4  = 1/4  - [  |a-(1/4)|+|a|  ]

         (x + 1/2)²  = 1/4  - [  |a-(1/4)|+|a|  ]   此式左边是完全平方式，非负值。故要使原方程有解，右边应该大于、等于零。

     即：1/4  - [  |a-(1/4)|+|a|  ]  ≥0

        也就是 |a-(1/4)|+|a| ≤ 1/4       下面我就用初一知识阐述一下 |a-(1/4)|+|a| 的几何意义：

     |a| 看做|a - 0| 表示数轴上a 对应的“动”点与原点的距离；

     同理，|a-(1/4)| 表示数轴上 a 对应的“动”点与1/4的距离；

显然，|a-(1/4)|+|a| 表示数轴上一个点到原点、1/4 两个点的距离之和。

下面看附图：

    当表示 a 的动点P在0、1/4之间时，它到0、1/4的距离之和 |a-(1/4)|+|a| =1/4;

                   注意P点在原点0、或1/4时，|a-(1/4)|+|a| =1/4 也成立。

       当表示 a 的动点Q在0、1/4之外时，它到0、1/4的距离之和 |a-(1/4)|+|a| ＞1/4;

这就是说，不论表示 a 的动点在数轴上何处，总有 |a-(1/4)|+|a| ≥ 1/4  。  从而，

|a-(1/4)|+|a| ≤ 1/4  中的 “＜”是无论如何也不成立的。只有 |a-(1/4)|+|a| = 1/4  可以

成立。由图看出，那只能是 a ∈[0，1/4]

不知这样说是不是好理解一点？

Answer 4

你把a分为大于1/4和小于1/4来讨论就明白了

追问

O(∩_∩)O谢谢，我再想想...

追答

就是一个简单的变形，你做这一类题的时候只要抓住有绝对值去绝对值，有根号去根号的原则就行了。

Answer 5

有△=1-4【|a-(1/4)|+a】≥0可知 0<=|a-1/4|<=1/4-|a|,可得|a|<=1/4, -1/4<=a<=1/4, 所以
|1/4-a|≤1/4-|a|，即-（1/4-|a|）≤1/4-a≤1/4-|a|，很简单的

Answer 6

还是按照下面的人说的一步一步的来。不要想着一下子就化简得到答案。你可以上趣学网上问老师。他们会即时帮你解答学习上的问题。

追问

O(∩_∩)O谢谢，您是来帮忙宣传趣学网的吧，不过我还是钟爱百度知道多一点，比趣学网感觉要实在