Question

已知函数f（x）=alnx-1/2x^2+1/2 我希望过程详细点…谢谢大家

已知函数f（x）=alnx-1/2x^2+1/2（a属于R 且a不等于零）

1。求f（x）的单调区间
2。是否存在实数a,使的对任意的x属于[1，+无穷），都有f（x）小于等于零？，若存在，求a的取值范围

Answer 1

解：1，求导：f‘（x）=a/x-x+0=(a-x²)/x,其中，a≠0，x＞0
分类讨论如下：
第一，当a＜0时，a-x²＜0，又x＞0，所以，f‘（x）=(a-x²)/x＜0，函数单调递减
所以，当a＜0时，f（x）在x＞0上单调递减
第二，当a＞0时，令f‘（x）=0，即：(a-x²)/x=0
解得：x=√a或x=-√a（不合舍去）
当0＜x＜√a时，a-x²＞0，所以f‘（x）=(a-x²)/x＞0，函数单调递增
当x＞√a时，a-x²＜0，所以f‘（x）=(a-x²)/x＜0，函数单调递减
所以，当a＞0时，f（x）的单调增区间为[0,√a],f（x）的单调减区间为[√a,正无穷)
2，由1解答可知，
第一，当a＜0时，f（x）在x＞0上单调递减即在[1,正无穷）也为单调递减，
所以，f（x）存在最大值为f（1）=0，满足≤0，所以a＞0的数可使的对任意的x属于[1，+无穷），都有f（x）小于等于零。
第二，当a＞0时，f（x）的单调增区间为[0,√a],f（x）的单调减区间为[√a,正无穷)
又可分如下讨论：
（1），当1＜√a时，即a＞1，
f（x）在[1，+无穷）的单调增区间为[1,√a],f（x）的单调减区间为[√a,正无穷）
所以，f（x）存在最大值为f（√a）=aln√a-1/2a+1/2＞f（1）=0，
由于当a＞1时，f（x）max＞0即没有小于等于0，所以不合，a＞1不满足。
（2）当1≥√a时，即：0＜a≤1，f（x）在[1，+无穷）的单调递减
f（x）存在最大值为f（1）=0，满足题意，即a≤1满足
综上所述，a＞0或0＜a≤1
中午回答时有点急，答得不好，现在改回来，希望对你有帮助，goodluck！