Question

η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ1,ξ2,ξ3,...,ξn-r,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系

η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ1,ξ2,ξ3,...,ξn-r,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,求证
η*,η*+ξ1,η*+ξ2,...η*+ξn-r线性无关

Answer 1

证明：设 kη*+k1ζ1+k2ζ2+...+kn-rζn-r = 0，等式两边左乘A, 由 Aη*=b, Aζi = 0 得kb = 0。

因为 AX=b 是非齐次线性方程组，故 b≠0。

所以 k = 0。

所以 k1ζ1+k2ζ2+...+kn-rζn-r = 0。

解的存在性：非齐次线性方程组有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A)=rank(A, b)（否则为无解）。

非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。（rank(A)表示A的秩）。

扩展资料：

非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：

（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。

（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于，即可写出含n-r个参数的通解。

参考资料来源：百度百科-非齐次线性方程组

Answer 2

证明: 设 kη*+k1(η*+ξ1)+k2(η*+ξ2)+...+kn-r(η*+ξn-r) = 0
则 (k+k1+k2+...+kn-r)η*+k1ξ1+k2ξ2+...+kn-rξn-r = 0 (*)
等式两边左乘A, 注意到 Aη*=b,Aξi=0,i=1,2,...,n-r, 得
(k+k1+k2+...+kn-r)b = 0. (**)
由于Ax=b是非齐次线性方程组, 故 b≠0
所以 k+k1+k2+...+kn-r = 0.
所以由(*)式得 k1ξ1+k2ξ2+...+kn-rξn-r = 0.
再由ξ1,ξ2,ξ3,...,ξn-r线性无关知 k1=k2=...=kn-r=0
代入(**)式得 k=0.
故 η*,η*+ξ1,η*+ξ2,...η*+ξn-r线性无关.

Answer 3

证明: 设 kη*+k1ζ1+k2ζ2+...+kn-rζn-r = 0
等式两边左乘A, 由 Aη*=b, Aζi = 0 得
kb = 0.
因为 AX=b 是非齐次线性方程组, 故 b≠0
所以 k = 0.
所以 k1ζ1+k2ζ2+...+kn-rζn-r = 0
由 ζ1、 ζ2、....ζn-r 是AX=0的一个基础解系
所以 k1=k2=...=kn-r = 0.
所以 k=k1=k2=...=kn-r = 0.
所以 η*,ζ1,ζ2,...,ζn-r线性无关.

追问

求证的是η*,η*+ξ1,η*+ξ2,...η*+ξn-r线性无关，不是η*,ξ1,ξ2,...ξn-r线性无关QAQ