Question

∫x arccosx dx

麻烦下各位∫x arccosx dx这个式子怎么解，我数学奇差，这个不大会。

Answer 1

∫ x · arccosx dx
= ∫ arccosx d(x²/2)
= x²/2 · arccosx - (1/2)∫ x² · d(arccosx) <==分部积分法
= x²/2 · arccosx - (1/2)∫ x² · - 1/√(1 - x²) dx
= x²/2 · arccosx + (1/2)∫ x²/√(1 - x²) dx，x = sinθ，dx = cosθdθ，第二换元法
= x²/2 · arccosx + (1/2)∫ sin²θ/cosθ · cosθ dθ
= x²/2 · arccosx + (1/2)∫ (1 - cos2θ)/2 dθ
= x²/2 · arccosx + (1/4)(θ - sinθcosθ) + C
= x²/2 · arccosx + (1/4)arcsinx - [x√(1 - x²)]/4 + C

Answer 2

分部积分法。。

追问

具体过程，麻烦了。

追答

令t=arccosx,则x=cost ,dx=-sintdt.原式=（cost t - sint dt =-1/2 (t sin2t dt =-1/4( t dcos2t=-1/4[t cos2t-(cos2t dt]=-1/4[t cos2t-1/2 sin2t]

( 是积分号。。