Question

在三角形abc中，sinA=sinB+sinC/cosB+cosC 判断三角形形状并证明

Answer 1

化简 sinA=sinB+sinC/cosB+cosC ，得
sinA×(cosB+cosC)=sinB+sinC
即， sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC
即，sinAcosB+sinAcosC=sin[π-(A+C)]+sin[π-(A+B)]
所以，sinAcosB+sinAcosC=sin(A+C)+sin(A+B)
sinAcosB+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinAcosB+cosAsinB
所以，cosAsinC+cosAsinB＝0
即，cosA×(sinB+sinC)＝0
因为，三角形中，C＋B<π，sinB+sinC≠0
所以，cosA＝0，A＝π/2
所以，三角形abc为直角三角形。

Answer 2

sinA=sinB+sinC/cosB+cosC
正弦定理，
a=(b+c)/(cosB+cosC) a(cosB+cosC)=b+c
余弦定理
a[(a^2+c^2-b^2)/2ac+(a^2+b^2-c^2)/2ab]=b+c
(a^2+c^2-b^2)/2c+(a^2+b^2-c^2)/2b=b+c
b(a^2+c^2-b^2)+c(a^2+b^2-c^2)=2bc(b+c)
a^2b+bc^2-b^3+a^2c+b^2c-c^3=2bc(b+c)
a^2(b+c)+bc(b+c)-(b^3+c^3)=2bc(b+c)
a^2(b+c)+bc(b+c)-(b+c)(b^2-bc+c^2)=2bc(b+c)
a^2+bc-b^2+bc-c^2=2bc
a^2-b^2-c^2=0
a^2=b^2+c^2 直角三角形