Question

在数列{an}中,a1=1,a(n+1)=1-1/4an,bn=2/(2an-1), （1）证明｛bn｝为等差，并求｛an｝通项公式

主要第二小题（2）若对任意n属于N*，不等式bn≤3k×2的n-1次+7恒成立，求实数k的取值范围。

Answer 1

(1)
证：
a(n+1)=1- 1/(4an)
a(n+1)-1/2=1/2 -1/(4an)=(2an-1)/(4an)
1/[a(n+1)-1/2]=2/[a(n+1)-1]=(4an)/(2an-1)=(4an-2+2)/(2an-1)=2+2/(2an-1)
2/[a(n+1)-1]-2/(2an-1)=2，为定值。
2/(2a1-1)=2/(2-1)=2
数列{2/(2an -1)}是以2为首项，2为公差的等差数列。
又bn=2/(2an -1)，数列{bn}是以2为首项，2为公差的等差数列。

2/(2an -1)=2+2(n-1)=2n
1/(2an -1)=n
2an -1=1/n
an=1/2 +1/(2n)
n=1时，a1=1/2+1/2=1，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=1/2 +1/(2n)。

(2)
bn=2+2(n-1)=2n
bn≤3k×2^(n-1)+7
2n≤3k×2^(n-1)+7
k≥(2n-7)/[3×2^(n-1)]
要不等式恒成立，则k应≥(2n-7)/[3×2^(n-1)]的最大值。
对于(2n-7)/[3×2^(n-1)]，n≤3时，分母>0，分子<0，k<0；n≥4时，分子分母均>0，k>0，因此只要讨论n≥4的情况。
n=4时，k=(8-7)/(3×8)=1/24=2/48
n=5时，k=(10-7)/(3×16)=1/16=3/48>2/48
n≥5时，
[2(n+1)-7]/(3×2^n)-(2n-7)/[3×2^(n-1)]
=[2(n+1)-7-2(2n-7)]/(3×2^n)
=(-2n+9)/(3×2^n)
n≥5，-2n+9≤-2×5+9=-1<0
[2(n+1)-7]/(3×2^n)<(2n-7)/[3×2^(n-1)]，(2n-7)/[3×2^(n-1)]单调递减。
因此当n=5时，(2n-7)/[3×2^(n-1)]取得最大值1/16
要不等式恒成立，k≥1/16。

一楼的错误在于把{bn}当等比数列算了。

Answer 2

(1) 由a(n+1)=1-1/4an可得
4a(n+1)*an=4an-1
所以b(n+1)-bn=2/(2a(n+1)-1)-2/(2an-1)
=(4an-4a(n+1))/(2a(n+1)-1)*(2an-1)
=(4an-4a(n+1)/(4a(n+1)*an+1-2an-2a(n+1))
=(4an-4a(n+1)/(4an-1-2an-2a(n+1)+1)=2
故bn为等差数列，且b1=2/(2a1-1)=2
即bn=2*2^(n-1)=2^n
则an=1/bn+1/2=2^(-n)+2^(-1)
(2)由bn≤3k×2^(n-1)+7即2^n≤3k×2^(n-1)+7得
(2-3k)*2^(n-1)≤7恒成立
所以2-3k≤0即2/3≤k.