Question

一道向量的高中数学题

已知A(-√3,0），B（√3,0），动点P满足|向量PA|+|向量PA|=4.
（1）求动点P的轨迹C方程
（2）过点（1,0）作直线 l 与曲线C交于M,N两点，求向量OM · 向量ON的取值范围
哪位能快点解呀，今晚就要答案

Answer 1

[[1]]
由椭圆定义可知
动点P的轨迹是以A, B两点为左右焦点,长轴为4的椭圆
方程为C: (x²/4)+y²=1
[[2]]
当直线L与x轴垂直时,
M(1,√3/2), N(1,-√3/2)
OM*ON=1-(3/4)=1/4
当直线L与x轴不垂直时,
可设直线L: y=k(x-1). k∈R
与椭圆方程联立,可得
(1+4k²)x²-8k²x+4(k²-1)=0
可设M(x1, k(x1-1)) N(x2, k(x2-1))
由韦达定理可得
x1+x2=8k²/(1+4k²), x1x2=4(k²-1)/(1+4k²).
易知,
OM*ON=(x1x2)+k²[(x1x2)-(x1+x2)+1]
=(1+k²)(x1x2)-k²(x1+x2)+k²
=(k²-4)/(1+4k²)
=(1/4){1-[17/(1+4k²)]}
∵k∈R.
∴结合上面情况可得
-4≤OM*ON≤1/4

追问

由椭圆定义可知
动点P的轨迹是以A, B两点为左右焦点,长轴为4的椭圆
方程为C: (x²/4)+y²=1
具体步骤是什么？

Answer 2

(1)题目中,是否是｜PA｜+｜PB｜=4？
如是的，则轨迹是椭圆 a=2 , c=√3 , b=1 , ∴ x^2/4+y^2=1
(2)设过点（1,0）的直线为 x=ty+1 (t=1/k) 代入椭圆方程得 (t^2+4)y^2+2ty-3=0
Δ=4t^2-4(t^2+4)*(-3)>0 t∈R
设M,N的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2) y1*y2=(-3)/(t^2+4)
x1*x2=(ty1+1)(ty2+1)=t^2y1*y2+(y1+y2)+1=(-3t^2)/(t^2+4)+(-2t)/(t^2+4)+1
0M*0N=x1*x2+y1*y2=(-3t^2-2t-3)/(t^2+4)+1=(-2t^2-2t+1)/(t^2+4), 令此式=s
即s=(-2t^2-2t+1)/(t^2+4), 去分母后得 (s+2)t^2+2t+4s-1=0,令 Δ>=0
得4s^2+7s+3<=0 所以 (-7-√97)/8<=s<= (-7+√97)/8
OM*ON的取值范围为[(-7-√97)/8, (-7+√97)/8]

Answer 3

（1）满足椭圆的定义：a=2,c=√3,则b=1，故方程为：x平方除以4+y平方=1
（2）联立椭圆方程和直线方程（斜率存在和不存在），消元，韦达定理，向量的坐标公式即可。