Question

关于二重积分的问题

求解：（x2-y2)的二重积分，0<=y<=sin x, 0<=x<=圆周率 派。
请教求解，在过程中有问题要问。。。非常感谢！～

Answer 1

被积函数是 x²-y² 吗？
∫∫(x²-y²)dxdy
=∫[0---->π] dx ∫[0--->sinx] (x²-y²)dy
=∫[0---->π] (x²y-(1/3)y³) |[0--->sinx]dx
=∫[0---->π] (x²sinx-(1/3)sin³x) dx
=∫[0---->π] x²判凯sinx dx-(1/3)∫[0---->π] sin³x dx
前一个用分顷脊部积分，后一个凑微分
=-∫[0---->π] x²d(cosx)+(1/3)∫[0---->π] sin²x d(cosx)
=-x²cosx+2∫[0---->π] xcosxdx+(1/3)∫[0---->π] (1-cos²x) d(cosx)
=-x²cosx+2∫[0---->π] xd(sinx)+(1/3)[cosx-(1/3)cos³x]
=-x²cosx+2xsinx-2∫[0---->π] sinxdx+(1/3)[cosx-(1/3)cos³x]
=-x²cosx+2xsinx+2cosx+(1/3)[cosx-(1/3)cos³x] |[0---->π]
=(π²-2-1/3+1/9)-(2+1/3-1/9)
=π²-40/雀冲渗9

追问

你的答案是正确的，我有的疑问就在于如果将sin2x代换成(1-cos2x)/2为什么结果就对不上呢。。。请问你能用这种代换帮我做一下吗，我不太会打那些数学符号。。。谢谢了。。。～

追答

你是说sin²x吧？是不是(1/3)∫[0---->π] sin²x d(cosx)这里的sin²x？
这个sin²x不能换成(1-cos2x)/2，因为微分后面是d(cosx)，因此前面的sin²x必须化成cosx的函数才行。

追问

没错没错，（平方我不会打，所以你懂得。。。）但是直接把cosx变为cos(2x)再在最前面乘上1/2为什么不行呢？

追答

注意：d(cosx)=1/2d(2cosx)
d(cosx)≠1/2d(cos2x)
d(cos2x)=d(2cos²x-1)=2d(cos²x)=4cosxd(cosx)，与d(cosx)不一样的。

Answer 2

化成二次积分∫(0到π)dx∫(0到sinx)(x^2-y^2)dy＝∫(0到π) ∫(x^2sinx-1/3*(sinx)^3) dx，世虚拆开，前码返庆者用分部积分，两次；后者把sinxdx换成-dcosx就容易做了。结迟握果可能是π^2 - 22/9