Question

求数项级数∑(n=1)1/[n*(2n+1)*(2^n)]的和

求数项级数∑(n=1)1/[n*(2n+1)*(2^n)]的和，解题过程中的问题：
（1）怎样由所给定的数项级数想到幂级数∑(n=1)[x^(2n)]/[n*(2n+1)]
（2）当求出幂级数的收敛域为[-1,1]，为什么设s(x)=x*∑(n=1)[x^(2n)]/[n*(2n+1)]
时，x的范围为(-1,1)
（3）∑(n=1)x^[2(n-1)]为什么等于1/[1-(x^2)]
（4）为什么当求出∫(0,x)s''(x)dx=∫(0,x)(2x)/[1-(x^2)]dx=-ln[1-(x^2)]时，不能直接得出s'(x)=-ln[1-(x^2)]，还得说明一下因为s'(0)=0，才能得此结论

Answer 1

1、通项中有2^n，与幂级数形式相同，因此将2换为x，即考虑某个幂级数在x＝2的函数值。
2、幂级数与多项式类似，能无穷次求导。但要注意，设幂级数时尽量弄出求导后会变的简单的幂级数。本题中不乘以x，求导后系数更麻烦，乘以x后求导恰好能消掉2n+1。其实做多了后第一眼就知道应该设幂级数是x^(2n+1)，而不是x^(2n)。
3、等级级数的和。
4、Newton －Leibiniz公式：F(x)－F(a)＝积分（从a到x）F'(t)dt。
没有F(a)的话，那做积分只能得到一个原函数，但积分得到的原函数是否与题目给的函数相同是不知道的，必须再要求在某一点的函数值相等才行。因此题目中应该是S'(x)－S'(0)=积分（从0到x）S''(t)dt。

Answer 2

这是大一的高等数学吧！
（1）第一个问题我不知道你到底问的什么？
（2）因为肯定要这样设S(X)然后才能用积分求和啊，而且他的收敛域在-1到1，X的范围自然是=1到1，如果去-1或1，这个级数就不是收敛级数了
（3）“1/[1-(x^2)]”就是他的和函数！
（4）在“0”的那点要考虑到他的连续性啊！

Answer 3

大哥 我不晓得 大家知道不啊~~~~~~