Question

求级数∑(n=1,∞)[(-1)^(n-1)*1/3^n(2n+1)]的和

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

就一个反正切麦克劳林展式(反过来用)，

反正切麦克劳林展式如下

40年了，我说怎么这么难？原来反正切麦克劳林公式忘了，不常用，

Answer 3

Answer 4

∑(n=1,∞)[(-1)^(n-1)*1/3^n(2n+1)] = （1/3)/(√3)^(2) - ...+
1-x^2+x^4-...+(-1)^(n-1)x^(2n) = 1/(1+x^2), n = 1, ...oo
两边积分：0 --> x
x - x^3 /3 + ... + (-1)^(n-1)x^(2n+1) /(2n+1) = arctan(x)
除 x 后，
1 - x^2/3 + ... + (-1)^(n-1)x^(2n) /(2n+1) = arctan(x) /x
==> x^2/3 - ... + (-1)^(n-1)x^(2n) /(2n+1) = 1 - arctan(x) /x
代入 x = 1/√3: ∑(n=1,∞)[(-1)^(n-1)*1/3^n(2n+1)] = 1 - √3(π/6)

Answer 5

先求，∑(-1)ⁿ⁻¹/(2n+1) *x²ⁿ⁺¹
=∑∫(0,x) (-1)ⁿ⁻¹ t²ⁿ dt
=∫(0,x) (∑(-1)ⁿ⁻¹ t²ⁿ) dt
=∫(0,x) t²/(1-t²) dt
=∫(0,x) (-1+ 1/(1-t²))dt
=-x+1/2∫(0,x) (1/(1+t) +1/(1-t)) dt
=-x+1/2ln|(1+x)/(1-x)|
令x=1/√3
则可知：
∑(-1)ⁿ⁻¹/[√3²ⁿ⁺¹*(2n+1)]=
1/√3*∑(-1)ⁿ⁻¹/[3ⁿ*(2n+1)]=
-1/√3+1/2ln[(√3+1)/(√3-1)]
=-√3/3+1/2ln(2+√3)
所以原级数=
-1+√3/2ln(2+√3)