Question

求级数∑[(-1)^n/2n+1/(2n+1)(2n-1)]的和，∑下面是n=1，上面是∞ 回答详细还有加分的！谢谢各位啊！

Answer 1

希望我没有看错题目，括号里面是不是一个多项式的和，第一个是(-1)^n/2n，第二个是1/(2n+1)(2n-1)。如果是的，先算第一个，提出1/2，剩下(-1)^n/n，展开∑(-1)^n/n=-(1-1/2+1/3-1/4+…+1/n+...)，括号里面是交错调和级数，级数和为ln2，它的求法可以用一个幂级数展开来算的，
ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...+(-1)^(n-1)x^n/n+...，将x=1带入可以得到上述结果。
后面的可以分解为1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]，求和的结果是1/2(1-1/3+1/3-1/5+1/5+...)，后面的约去得到结果1/2，最后的结果就是-1/2ln2+1/2