Question

阅读下列解题过程：已知a,b.c为三角形ABC的三边，且满足a^2c^2-b^2c^2=a^4-b^4,试判断三角形ABC的形状。

解：因为a^2c^2-b^2c^2=a^4-b^4 1
所以c^2(a^2-b^2)=(a^2+b^2)(a^2-b^2) 2
所以c^2=a^2+b^2 3
所以三角形ABC为直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号——
（2）错误的原因是——
（3）本题正确的结论是——

我想问的是 为什么abc不为等边三角形而为直角三角形或等腰三角形 麻烦知道的前辈 指教一下 。。

Answer 1

第一，三角形abc不是不为等边三角形，而是无法确定是否是等边三角形。
第二，这个三角形可以只是等腰三角形（可以不等边），也可以只是直角三角形，当然也可以是等腰直角三角形。

本题解答如下：
（1）出错的代号：3
（2）错误的原因：忽略了a^2-b^2=0的情况，等式两边同时除以0
（3）
我从第三步开始改正：

当a^2-b^2=0的时候，无论c^2和a^2+b^2有什么样的关系，第2步中的等式都能成立
所以，当这个三角形是等腰三角形的时候，无法确定它是不是直角三角形
当a^2-b^2≠0时，这个三角形就至少有两边不相等，式子两边可以同时除以a^2-b^2，得到
c^2=a^2+b^2是直角三角形，而不可能是等腰三角形，因为c是斜边，所以不可能跟ab中的一个相等。
所以，这个题的结论是，如果它只是一个等腰三角形【不等边，无直角】，就无法确定它是否还是直角三角形。如果确定它不是等腰三角形，那么它是一个直角三角形

Answer 2

(1)该题的错误从第3步开始
(2)错误的原因是a^2-b^2=0时，等式两边不能同时约去(a^2-b^2)项
(3)a^2-b^2=0时，为等腰三角形；a^2-b^2≠0时，c^2=a^2+b^2，勾股定理，为直角三角形
为什么不为等边三角形的原因是，当a^2-b^2=0，没有条件能一定得出c=a=b，所以不能说是等边三角形，而等边三角形是特殊的等腰三角形，不排除c=a=b的情况
希望有帮助

Answer 3

解：（1）从第②步到第③步出错（写成第“2”或“二”等数字都不扣分；另外直接写“第③步”
或“到第③步”都算正确），（2分）

（2）等号两边不能同除a2-b2，因为它有可能为零．（4分）

（3）（从头或直接从第③步写解答过程都行），
∵a2c2-b2c2=a4-b4，
∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2），
移项得：c2（a2-b2）-（a2+b2）（a2-b2）=0，
得（a2-b2）（c2-a2-b2）=0，（5分）
∴a2=b2或c2=a2+b2（6分）
∴△ABC是直角三角形或等腰三角形．（7分）

Answer 4

从a²c²-b²c²=a^4-b^4可知
c^2(a^2-b^2)=(a^2+b^2)(a^2-b^2)都是对的
这个等式相等，有两个条件
①a^2-b^2=0 ，a＞0 ，b＞0
所以a=b
②c^2=a^2+b^2
也就是直角三角形了~~
等边三角形只不过是等腰三角形其中特殊的一种~~
不是所有的情况 很不全面~~这个三角形有可能会是等边三角形 也又可能不是
并不能确定的话~不能够算的~

Answer 5

错在第3步。
因为你把方程两边的（a^2-b^2)约掉了，所以漏了（a^2-b^2)＝0的可能。（分母不为0）
当（a^2-b^2)＝0时，C取任何值方程2都是成立的。也就是你简化方程2的时候自己把a=b=c的解去掉了。