Question

正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的

距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0）．
（1）求证：h1=h3；　
（2）设正方形ABCD的面积为S，求证：S=（h2+h1）2+h12；
（3）若，当h1变化时，说明正方形ABCD的面积为S随h1的变化情况．

Answer 1

解：（1）设AD、BC与l2、l3相交于点E、F。

由题意知四边形BEDF是平行四边形，

∴△ABE≌△CDF（ASA）。

∴对应高h1＝h3。

(2)过B、D分别作l4的垂线，交l4于G、H（如图），

易证△BCG≌△CDH，从而根据勾股定理，得

CB2＝BG2＋GC2＝BG2＋HD2，

即：S＝(h3＋h2)2＋h32＝(h1＋h2)2＋h12。

(3)∵ 3 2h1＋h2＝1,∴h2＝1－ 3 2h1

由(2)知S＝(h1＋h2)2＋h12＝( h1＋1－ 3 2h1)2 ＋h12＝ 。

∵ h1＞0，h2＞0，h3＞0，∴h2＝1－ 3 2h1＞0，解得0＜h1＜ 。

∴当0＜h1＜ 时，S随h1的增大而减小；

当h1= 时，S取得最小值 ；

当 ＜h1＜ 时，S随h1的增大而增大。

【考点】平行的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等量代换，，二次函数的性质。

【分析】（1）由全等三角形对应高相等的性质证明即可。

（2）由△BCG≌△CDH，应用勾股定理即可证得。

(3)将已知的 3 2h1＋h2＝1化为 h2＝1－ 3 2h1代入（2）的结论： S＝(h1＋h2)2＋h12，得到S关于 h1的二次函数，应用二次函数增减性的性质进行讨论即可。

Answer 2

如图2所示：
①过A点作AP⊥l2于P，过C点作CQ⊥l3于Q，
∵∠EAD+∠DAP=90°，
∠EAD=∠ADQ，
∴∠DAP+∠ADQ=90°，
∵∠CDQ+∠ADQ=90°，
∴∠DAP=∠DQC，
∵∠ABP+∠BAP=90°，∠BAP+∠DAP=90°，
∴∠ABP=∠QDC，
在△ABP和△CDQ中，
∠APB=∠DQC∠PBA=∠QDCAB=CD​，
∴△ABP≌△CDQ（AAS），
∴AP=CQ，即h1=h3，

②过D点作EF⊥l1于E交l4于F，则ED=h1+h2，DF=h3，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠CDF=90°，
∵∠FCD+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠DCF，
在△ADE和△DCF中，
∠AED=∠DFC∠ADE=∠DCFAD=CD​，
∴△ADE≌△DCF（AAS），
则AE=DF=h3，
在Rt△ADE中由勾股定理可得：AD2=AE2+DE2=h23+（h1+h2） 2，
又∵h1=h3，
∴S=AD2=（h1+h2） 2+h21，

③∵32h1+h2=1，
∴h2=1-
32h1，
∴S=（h1+1-32h1）2+h21，
=54h21-h1+1，
=54（h1-25）2+45，
又∵h1＞01-
32h1＞0​，
解得0＜h1＜23，
∴当0＜h1＜25时，S随h1的增大而减小；
当h1=25时，S取得最小值45；
当25＜h1＜23时，S随h1的增大而增大．

Answer 3

证明：过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F，过C点作CH⊥l2分别交l2、l3于点H、G，
∵正方形ABCD，l1∥l2∥l3∥l4，
∴AB=CD，∠ABE=∠BCH，
∵∠BCH=∠CDG，
∴∠ABE=∠CDG，
∵∠AEB=∠CGD=90°，
∴△ABE≌△CDG，
∴AE=CG，
即h1=h3，
（2）证明：∵正方形ABCD，
∴AB=BC=CD=DA，
∵∠AEB=∠DFA=∠BHC=∠CGD=90°，∠ABE=∠FAD=∠BCH=∠CDG，
∴△AEB≌△DAF≌△BCH≌△CGD，且两直角边长分别为h1、h1+h2，
∴四边形EFGH是边长为h2的正方形，
∴S=4×1 2 h1(h1+h2)+h22=2h12+2h1h2+h22=(h1+h 2)2+h12，

（3）解：由题意，得h2=1-3 2 h1，
所以 S=(h1+1-3 2 h1)2+h12=5 4 h12-h1+1 =5 4 (h1-2 5 )2+4 5 ，
又 h1＞0 1-3 2 h1＞0 ，
解得0＜h1＜2 3 ，
∴当0＜h1＜2 5 时，S随h1的增大而减小；
当h1=2 5 时，S取得最小值4 5 ；当2 5 ＜h1＜2 3 时，S随h1的增大而增大．

Answer 4

（1）证明：过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F，过C点作CH⊥l2分别交l2、l3于点H、G，
∵正方形ABCD，l1∥l2∥l3∥l4，
∴AB=CD，∠ABE=∠BCH，
∵∠BCH=∠CDG，
∴∠ABE=∠CDG，
∵∠AEB=∠CGD=90°，
∴△ABE≌△CDG，
∴AE=CG，
即h1=h3，

（2）证明：∵正方形ABCD，
∴AB=BC=CD=DA，
∵∠AEB=∠DFA=∠BHC=∠CGD=90°，∠ABE=∠FAD=∠BCH=∠CDG，
∴△AEB≌△DAF≌△BCH≌△CGD，且两直角边长分别为h1、h1+h2，
∴四边形EFGH是边长为h2的正方形，
∴S=4×12h1(h1+h2)+h22=2h12+2h1h2+h22=(h1+h 2)2+h12，

（3）解：由题意，得h2=1-
32h1，
所以S=(h1+1-
32h1)2+h12=
54h12-h1+1=
54(h1-
25)2+
45，
又h1＞01-
32h1＞0，
解得0＜h1＜23，
∴当0＜h1＜25时，S随h1的增大而减小；
当h1=25时，S取得最小值45；当25＜h1＜23时，S随h1的增大而增大．

Answer 5

过A作l2 的垂线，垂足为E，过C作l3的垂线，垂足为F。
由正方形ABCD和平行线，证明三角形ABE全等于三角形CDF（角边角）
高自然相等，也就是h1=h3
S=（h2+h1）2+h12这个公式中h12是什么意思？

Answer 6

1)分别过左右两个顶点作平行线的垂线，则在正方形外围着四个全等的直角三角形，直角三角形的直角边长分别为h1和h2+h3其中（h1=h3),所以整个图形为一个大正方形面积为（h1+h2+h3)^2,所以s=(h1+h2+h3)^2-1/2(h2+h3)*h1*4,其中h3=h1,所以s=(h1+h2)^2+h1^2.
(2)因为0<h1<2/3,所以s=5/4(h1-2/5)^2+4/5,观察图像所以当0<h1<2/5时，s随h1的增大而减小;当2/5<=h1<2/3时,s随h1的增大而增大。