Question

证明已过抛物线的焦点的弦为直径的圆和抛物线的准线相切

Answer 1

如图，设F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，

AB为抛物线的一条焦点弦，M为AB的中点，

过A、B、M分别作准线的垂线，垂足分别为E、C、D，

则由抛物线的定义知：

|AE|＝|FA|，|BC|＝|FB|，

∴|AB|＝|FA|＋|FB|，

即|AB|＝|AE|＋|CD|，

又由梯形的中位线性质知：

|MD|＝1 /2 (|AE|＋|CD|)，

∴|MD|＝1 /2 |AB|，

即以弦AB为直径的圆的圆心M到准线l的距离

等于半径，即以弦AB为直径的圆与准线l相切。

所以，以过抛物线的焦点的弦为直径的圆和抛物线的准线相切。