Question

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),直线l为圆O:x^2+y^2=b^2的一条切线

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),直线l为圆O:x^2+y^2=b^2的一条切线,且经过椭圆的右焦点，记椭圆的离心率为e
（1）若直线l的倾斜角为π/6，求e的值
（2）是否存在这样的e，使得原点O关于直线l的对称点在椭圆C上？若存在，请求出e的值，若不存在，请说明理由

Answer 1

显然圆内切于椭圆，连接O与切点，则sin(π/6) = 1/2 = b:c，∴c^2/a^2 = 4/5，∴e = 2/根5
2）
由题干，切线经过焦点，因此c>b，∴b^2 > a^2 / 2 ，∴b > a/根2 ，∴2b > a * 根2
假设存在符合条件的对称点，则它与O的连线⊥切线l，∴O与该点的距离 = 2b > a * 根2，
这与“O到椭圆周最长距离为半长轴长”矛盾，∴不存在符合条件的对称点，也不存在这样的e