Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，OA=3，OC=4，P为直线AB上一动点，将直线OP绕点P逆时针方向

旋转90度交直线BC于点Q;
(2)在OA*BQ=AP*BP的条件下，设点P的横坐标为m，线段CQ的长度为L，写出，关于m的函数解析式

Answer 1

证明：（1）∵PO⊥PQ，
∴∠APO+∠BPQ=90°，
在Rt△AOP中，∠APO+∠AOP=90°，
∴∠BPQ=∠AOP，
∴△AOP∽△BPQ，则 ，AP/OA=BQ/BP
即OA•BQ=AP•BP．

（2）∵OA•BQ=AP•BP，即BQ=m(4-m)/3 ，
∴l=3- (4m-m^2)/3=1/3(m^2-4m+4)+5/3=1/3(m^2-2)^2+5/3
∴当m=2时，l有最小值5/3 ．

（3）
∵△POQ是等腰三角形
①若P在线段AB上，∠OPQ=90°
∴PO=PQ，又△AOP∽△BPQ，
∴△AOP≌△BPQ
∴PB=AO，即3=4-m，
∴m=1，即P点坐标（1，3）
②若P在线段AB的延长线上，PQ交CB的延长线于Q，PO=PQ，
又∵△AOP∽△BPQ，
∴△AOP≌△BPQ，
∴AO=PB，即3=m-4，即P点的坐标（7，3），
故存在P1（1，3），P2（7，3）使△POQ为等腰三角形．

Answer 2

证明：（1）∵PO⊥PQ，∴∠APO+∠BPQ=90°，在Rt△AOP中，∠APO+∠AOP=90°，∴∠BPQ=∠AOP，∴△AOP∽△BPQ，则 ，AP/OA=BQ/BP即OA•BQ=AP•BP．
（2）∵OA•BQ=AP•BP，即BQ=m(4-m)/3 ，∴l=3- (4m-m^2)/3=1/3(m^2-4m+4)+5/3=1/3(m^2-2)^2+5/3∴当m=2时，l有最小值5/3 ．
（3） ∵△POQ是等腰三角形①若P在线段AB上，∠OPQ=90°∴PO=PQ，又△AOP∽△BPQ，∴△AOP≌△BPQ∴PB=AO，即3=4-m，∴m=1，即P点坐标（1，3）②若P在线段AB的延长线上，PQ交CB的延长线于Q，PO=PQ，又∵△AOP∽△BPQ，∴△AOP≌△BPQ，∴AO=PB，即3=m-4，即P点的坐标（7，3），故存在P1（1，3），P2（7，3）使△POQ为等腰三角形．