已知方程x^2+4ax+3a+1(a>1)的两根为tana,tanb,a,b∈(-π/2,π/2)求tan((a+b)/2) 40
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∵方程x^2+4ax+3a+1(a>1)的两根为tanA,tanB
由韦达定理得(a>1)：
tanA+tanB=-4a<0，tanA·tanB=3a+1>0
tanA<0,tanB<0
∴tan(A+B)=(tanA+tanB)\(1-tanA·tanB)
=-4a/(1-3a-1)=4/3
设tan[(A+B)/2=y
∵ tan(A+B)=2y/(1-y²)
∴2y/(1-y²) =4/3
∴2y²+3y-2=0
∴y=-2,y=1/2
∵A,B∈(-π/2,π/2)
tanA<0,tanB<0
∴A,B∈(-π/2,0)
∴(A+B)/2∈(-π/2,0)
∴tan(A+B)/2<0
∴tan(A+B)/2=-2
由韦达定理得(a>1)：
tanA+tanB=-4a<0，tanA·tanB=3a+1>0
tanA<0,tanB<0
∴tan(A+B)=(tanA+tanB)\(1-tanA·tanB)
=-4a/(1-3a-1)=4/3
设tan[(A+B)/2=y
∵ tan(A+B)=2y/(1-y²)
∴2y/(1-y²) =4/3
∴2y²+3y-2=0
∴y=-2,y=1/2
∵A,B∈(-π/2,π/2)
tanA<0,tanB<0
∴A,B∈(-π/2,0)
∴(A+B)/2∈(-π/2,0)
∴tan(A+B)/2<0
∴tan(A+B)/2=-2
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