Question

数学归纳法证明√a－√a－1＜√a－2－√a－3 (a≧3)

Answer 1

证明： 欲证√a - √a-1＜√a-2 -√a-3
←√a - √a-1 / 1＜√a-2 - √a-3
←（√a - √a-1）（√a + √a-1） /√a + √a-1＜（√a-2 -√a-3）（√a-2 +√a-3）/√a-2 +√a-3
←1/√a + √a-1＜ 1/√a-2 +√a-3
又a≥3
所以 a ≥3 a-1≥2 a-2≥1 a-3≥0
所以√a＞√a-2 ，√a-1＞√a-3
所以√a + √a-1＞√a-2 +√a-3
所以1/√a + √a-1＜ 1/√a-2 +√a-3 显然成立
所以√a - √a-1＜√a-2 -√a-3

Answer 2

√a－√a－1＜√a－2－√a－3
分子有理化得
√(a－√a－1)(√a+√a－1)/(√a+√a－1)＜(√a－2－√a－3)(√a－2+√a－3)/(√a－2+√a－3)
1/(√a+√a－1)<1/(√a－2+√a－3)
即
(√a+√a－1)>(√a－2+√a－3)
很明显成立啊。