Question

数学：已知△ABC满足sin²A+sin²B+sin²C=2√3 sinAsinBsinC,

判断△ABC的形状，请给出详细过程。

Answer 1

1、在任意三角形ABC中，（sin^2A+sin^2B+sin^2C）/2sinAsinBsinC=cotA+cotB+cotC
知道吗？ 不会 就百度一下
2、此题目就变成 cotA+cotB+cotC=√配明3
3、Cota+cotb-cot(a+b)=√3
Cota+cotb-(cota*cotb-1)/(cota+cotb)= √3
令cota+cotb=x，cota*cotb=y
代入培戚告，得y=x^2-√3x+1
cota，cotb是t^2-x*t+ x^2-√3x+1=0的两根
⊿=x^2-4x^2+4√3x-4≥0
(√3x-2)^2≤0
x=2√3/3，代入，得y=1/3
易知仔稿cota=cotb=√3/3，即a=b=60度
所以，此三角形为正三角形

Answer 2

设(sinA)/a=(sinB)/b=(sinC)/c=k
sinA=ka,sinB=kb,sinC=kc
k²a²+k²b²+k²c²=2√3k²absinC
a²+b²+c²=2√汪运3absinC
c²=-(a²+b²-2√3absinC)
余弦定理c²=a²+b²-2abcosC
a²+b²-2abcosC+（a²+b²-2√3absinC)=0
a²+b²-ab（cosC+√3sinC）=0
a²+b²-2ab·sin（C+30°）=0
当a=b时，0=（a-b）²=a²+b²-2ab=2ab（sin（C+30°）-1），（sin（C+30°）-1）=0，C=60°
当a≠b时，（a-b）²=a²+b²-2ab=2ab（sin（C+30°）-1）
等式左边困尘梁大于零，而sin（C+30°）-1小于等于零，等式永远不成立，假设a=b不成立
∴a=b，C=60°
同理可证b=c，兄扰A=60°
a=c，B=60°
所以此三角形为等边三角形

Answer 3

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
sinA=a/(2R),sinB=b/(2R),sinC=c/(2R)
sin²A+sin²B+sin²C=2√3 sinAsinBsinC
[a/(2R)]^2+[b/(2R)]^2+[c/(2R)]^2=2√3a/(2R)*b/(2R)*c/(2R)
a^2+b^2+c^2=2√3*abc/(2R),又c^2=a^2+b^2-2abcosC
2a^2+2b^2-2abcosC=2√3*absinC
a^2+b^2=abcosC+√3*absinC
2cos(60度-C)=a/b+b/a
a/b+b/a>=2(根据不等式的含灶碧性质)
2cos(60度-C)>=2
cos(60度-C)>=1
所以cos(60度-C)=1
C=60度
同理，辩兄A=60度，B=60度，三角形为等边三角谈举形

Answer 4

正弦定理，a=2RsinA,
4R²(sin²A+sin²B+sin²C)=a²+b²+c²=8√3 R²sinAsinBsinC=2√猛竖禅3absinC=4√3S
然后S还可以用a,b,c的式子表示，枝尘另外还可以用余弦把c²用a,b表示。移过来算
其实2楼方法是对的，偏导数那一步不要看，“求M=sinasinbsinc在条件a+b+c-π=0条件下的纤尺最小值”用凸函数来证明就好

Answer 5

（有点挑战性的题目哦）启纤下面以**代表次方的意思：
有不等式a**3+b**3+c**3>=3abc
故sina**2+sinb**2+sinc**2>=3(sinasinbsinc)**(2/3),又此不等式左边=2*3**（1/2）sinasinbsinc
可得(sinasinbsinc)**(1/棚磨3)>=3**（1/2）/2，至此其实可以感觉得到只有当A=B=C时，即三角形为等边悄和仿三角形时才能使等式成立，这个证明有一点复杂，下面证明之：
要证上述命题，只需证sinasinbsinc>=3**(3/2)/8
即求M=sinasinbsinc在条件a+b+c-π=0条件下的最小值，
（这也就是大学高等数学中的多元函数极值问题，不知楼主学过没有，若没有下面可以直接略过吧），
设F=sinasinbsinc+m(a+b+c-π），分别拿F对角a,b,c,m求偏导可得三个关于abc对称的三个等式和第四个等式a+b+c=π，三个完全对称的式子可得a=b=c,再由第四个式子即得a=b=c=π/3时取得极值，用判定法则可判出为极小值. 故当且仅当a=b=c=π/3时sinasinbsinc取得最小值3**(3/2)/8故原三角型为正三角形。

追问

晕，这个是高中题目啊，偏导数啊。