Question

两道高数题

1.求半径为R，中心角为2a的圆弧L关于它的对称轴的转动惯量。
2.确定摆线的半拱x=a(t-sint),y=a(1-cost)(0<=t<=π）的形心坐标.
求详细解释和过程

Answer 1

1、平面曲线L的线密度是f(x,y)，关于x轴，y轴的转动惯量Ix=∫(L) y^2f(x,y)ds，Iy=∫(L) x^2f(x,y)ds
－－－－－－－
以原点为圆心，x轴为对称轴，圆弧的方程是x^2+y^2=R^2，参数方程是x=Rcost，y=Rsint，-a≤t≤a。ds＝Rdt。
这里的圆弧应该是均匀圆弧吧？那就是线密度为常数μ，所以圆弧关于x轴的转动惯量Ix=∫(L) y^2 μds=∫(-a到a) (Rsint)^2*μ*Rdt＝2μR^3∫(0到a) (sint)^2dt＝μR^3∫(0到a) (1-cos2t)dt＝μR^3(a-sinacosa)

2、平面曲线L的线密度是f(x,y)，质心坐标X＝∫(L) yf(x,y)ds / ∫(L) f(x,y)ds，Y＝∫(L) xf(x,y)ds / ∫(L) f(x,y)ds
－－－－－－
ds＝2asin(t/2)dt
设摆线的线密度是常数μ，则质量M＝∫(L) μds＝∫(0到π) μ*2asin(t/2)dt＝4aμ，静力矩Mx＝∫(L) yμds＝∫(0到π) μ*a(1-cost)*2asin(t/2)dt＝16μa^2/3，My＝∫(L) xμds＝∫(0到π) μ*a(t-sint)*2asin(t/2)dt＝μa^2(π^2-8)
所以，X＝My/M＝μa^2(π^2-8) / 4μa＝a(π^2-8)/4，Y＝Mx/M＝（16μa^2/3）/ 4μa＝4a/3，质心坐标是(a(π^2-8)/4，4a/3)

Answer 2

1、平面曲线L的线密度是f(x,y)，关于x轴，y轴的转动惯量Ix=∫(L) y^2f(x,y)ds，Iy=∫(L) x^2f(x,y)ds
－－－－－－－
圆弧的方程是x^2+y^2=R^2，参数方程是x=Rcost，y=Rsint，-a≤t≤a。ds＝Rdt。
这里的圆弧应该是均匀圆弧吧？那就是线密度为常数μ，所以圆弧关于x轴的转动惯量Ix=∫(L) y^2 μds=∫(-a到a) (Rsint)^2*μ*Rdt＝2μR^3∫(0到a) (sint)^2dt＝μR^3∫(0到a) (1-cos2t)dt＝μR^3(a-sinacosa)

2、平面曲线L的线密度是f(x,y)，质心坐标X＝∫(L) yf(x,y)ds / ∫(L) f(x,y)ds，Y＝∫(L) xf(x,y)ds / ∫(L) f(x,y)ds
－－－－－－
ds＝2asin(t/2)dt
设摆线的线密度是常数μ，则质量M＝∫(L) μds＝∫(0到π) μ*2asin(t/2)dt＝4aμ，静力矩Mx＝∫(L) yμds＝∫(0到π) μ*a(1-cost)*2asin(t/2)dt＝16μa^2/3，My＝∫(L) xμds＝∫(0到π) μ*a(t-sint)*2asin(t/2)dt＝μa^2(π^2-8)
所以，X＝My/M＝μa^2(π^2-8) / 4μa＝a(π^2-8)/4，Y＝Mx/M＝（16μa^2/3）/ 4μa＝4a/3，质心坐标是(a(π^2-8)/4，4a/3)

Answer 3

采用元素法分析（假设线密度为1，对称轴为x轴）
取圆弧上一小段弧为ds，坐标为（x，y），则其对对称轴的转动惯量是dI=y*yds，再对弧s进行曲线积分，考虑到积分的技巧，可将其化为极坐标，ds=Rda，I=R*3乘以sin*2a从-a到a的积分，算的转动惯量 I=R*3（1+sin2a/2）

追问

那第二题呢