Question

函数f(x)=acoswx+bsinwx 的最小正周期为派/2，当x=派/6时，有最大值4

求a,b,w 的值 大致的具体化解过程 谢谢

Answer 1

先将f(x)转化一下，
f(x)=√(a²+b²) * [a/√(a²+b²) * coswx + b/√(a²+b²) * sinwx]
显然[a/√(a²+b²)]² + [b/√(a²+b²)]²=1，
所以不妨设sin t=a/√(a²+b²)，cos t=b/√(a²+b²)，
即
f(x)=√(a²+b²) * (sint * coswx + cost * sinwx)
由公式sin(a+b)=sina*cosb +cosa *sinb可以知道，
sint * coswx + cost * sinwx=sin(wx+t)，
所以
f(x)=√(a²+b²) * sin(wx+t)

其最小正周期为π/2，故2π/w=π/2，即w=4，
x=π/6时，有最大值4，
故√(a²+b²) =4，
sin(4*π/6+t)=1即4*π/6+t=π/2，
解得t= -π/6，
所以sin t=a/√(a²+b²) = -1/2
故a= -2 ，

f(x)= -2cos4x+bsin4x，
x=π/6时，f(x)=4，
即f(π/6)= -2cos(2π/3)+bsin(2π/3)= 1 + b*(√3/2)=4
解得b=2√3

所以
f(x)= -2cos4x+ 2√3 sin4x

Answer 2

函数f(x)=acoswx+bsinwx 的最小正周期为派/2，当x=派/6时，有最大值4，求a,b,w 的值
解析：∵函数f(x)=acoswx+bsinwx 的最小正周期为派/2
设sinθ=a/√(a^2+b^2)，cosθ=b/√(a^2+b^2)
f(x)=acoswx+bsinwx=√(a^2+b^2)*sin(wx+θ)
T=2π/w=π/2==>w=4
∵当x=派/6时，有最大值4
f(π/6)=√(a^2+b^2)*sin(2π/3+θ)=4==> a^2+b^2=16，sin(2π/3+θ)=1
∴θ=π/2-2π/3=-π/6
a/√(a^2+b^2)=a/4=sin(-π/6)=-1/2==>a=-2
b/√(a^2+b^2)=b/4=cos(-π/6)= √3/2==>b=2√3
∴f(x)= 2√3sin4x-2cos4x=4sin(4x-π/6)