Question

线性代数证明，求高手指教

设a1,a2……an是n个线性无关的向量，b=k1a1+k2a2+……+knan,其中，ki都不等于0，证明：a1,a2……an，b任意n个线性无关。

Answer 1

只需证：a1,a2……a（n-1），b线性无关
反证，若a1,a2……a（n-1），b线性相关，又a1,a2……a（n-1）线性无关，故
b=m1a1+m2a2+……m(n-1)a（n-1）,而b=k1a1+k2a2+……+knan有
m1a1+m2a2+……m(n-1)a（n-1）=k1a1+k2a2+……+knan得
（m1-k1）a1+(m2-k2)a2+……(m(n-1)-(k(n-1))a(n-1)-knan=0,由于a1,a2……an个线性无关
所以（m1-k1）=(m2-k2)=……=(m(n-1)-(k(n-1))=-kn=0,得kn=0与条件矛盾，所以
a1,a2……a（n-1），b线性无关,则
a1,a2……an，b任意n个线性无关

Answer 2

证明: 只需证明 b,a2,...,an 线性无关, 其他同理.
设 s1b+s2b2+...+snan = 0
则 s1k1a1+(s1k2+s2)a2+...+(a1kn+sn)an = 0.
由于 a1,a2,……,an 线性无关
所以 s1k1 = 0, s1ki+si = 0, i=2,3,...,n
又因为 k1≠0, 所以 s1=0, si=0, i=2,3,...,n.
所以 b,a2,...,an 线性无关.