Question

微积分证明

首先请把证明过程详述一下，这个过程似乎没用到f ’(x)单调？
其次评注中的“ f ’(x)单调的条件保证，若有间断点，只可能是可去间断点和第一类间断点”
为什么？
多谢

Answer 1

洛必达法则用到了单调性：单调有界函数必有极限，当极限存在时，才可以用洛必达法则，因此
lim 【f(x)--f(x0)】/(x--x0)=【这个等号成立的前提是f'(x)的极限存在，当f'(x)单调时可以保证右极限是存在的】lim f'(x)=f'(x0+0)。而显然由于可导，上面表达式的最左边的极限应是f'(x0)，因此
得到导函数的右极限=导函数值。然后类似证明导函数的左极限=函数值，故左右极限都等于函数值，所有导函数连续。

评注中：只要是单调函数，利用单调有界原理就知道间断点的左右极限是存在的，因此间断点只能是第一类的。

追问

只要是单调函数，在其定义域上每点的左右极限都存在吗？
无界函数也如此吗？
题中没说 f'(x)有界啊？有可能 f'(x)在（a,b）上无界吗？
还有图片中的“证明”和“评注”貌似是等价的？“评注”可以单独看作是一种解法吗？

追答

单调函数可以无界，但只能在区间端点处无界，中间的点肯定是有界的。
比如递增函数，c是区间内一点，则xc时，f(x)>=f(c)，故从右边看是递减有下界的，故有极限。

评注是另外一种证法，是在知道了导函数的介值性质后才能这么做。证明不需要导函数的介值性质，只利用单调函数的性质。

追问

评注似乎有漏洞，f'(x)单调，若有间断点，也只可能是跳跃点，而不会是可去间断点，否则违背f'(x)的单调性，对吗？不过这也不影响结果，因为“其一”中已经对两种情况都进行了否定。
还有按你说的单调函数在开区间的任意点上都有左极限和有极限，也就是左右空心领域的上下确界，对吗？
还有达布定理：若f(x)在[a,b]上可导，则f '(x)的值域为一个区间。
[a,b]改为开区间（a,b）可以吗？

追答

对，单调函数只能有跳跃间断点。
第二个结论正确。
凡是有介值性质的函数，定义域是区间，值域必是区间，当然这里的区间就可能是开，闭，半开半闭的，或者包含无穷

Answer 2

这个问题我早看到了，一直没答是担心自己说不清楚。既然你hi我要我回答，我就试试吧。

个人认为：如果把答案中的“洛必达法则”改为“柯西中值定理（或拉格朗日中值定理）”可能会好理解一些。

首先你肯定知道一个事情：洛必达法则使用有个前提，就是求完导的极限必须存在，若用完洛必达法则后极限不存在，不能说明原极限不存在!!!为什么会出现这个现象？如果可以理解了这一点，就容易明白f '(x)单调究竟起了什么作用。

要从洛必达法则的证明说起，洛必达法则是用柯西中值定理证的，而用完柯西中值定理后出现这样一个极限式：lim [ξ--->x0] f '(ξ)/g'(ξ)，然后将ξ换成 x 得到：lim [x--->x0] f '(x)/g'(x)
但是注意，上面这两个极限式并不等价，因为 ξ 其实并不是连续变化的，而换成 x 后就是连续变化的了，换句话说，ξ--->x0其实只是x--->x0的一个子列，

因此当lim [ξ--->x0] f '(ξ)/g'(ξ)存在时，lim [x--->x0] f '(x)/g'(x)不一定存在。这也就是为什么用完洛必达法则可能会出现左边极限存在，而右边极限不存在的原因。

现在回到本题，若f '(x)单调，当我们有了这个条件时，ξ--->x0与x--->x0就等价了，这样上面的等式才能成立。

所以我说本题如果这样写可能更容易理解：
由拉格朗日中值定理：
lim[x---->x0+] [f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim[ξ---->x0+] f '(ξ) x0<ξ<x
又由于 f '(x)单调，因此 lim[ξ---->x0+] f '(ξ)=lim[x---->x0+] f '(x)=f '(x0+0)
因此这里单调是有用处的，若没有单调这个条件，lim[x---->x0+] f '(x)可能是不存在的。
这是我的个人观点，仅供参考。

第二个问题：首先达布定理我早不记得了，说实话，数学分析已经很久不看了，好多都忘了。不过我知道一个结论，无论导函数是否单调，只要导函数存在，这个导函数就不会有可去间断点和跳跃间断点。换句话说：一个函数如果有第一类间断点，该函数一定没有原函数的。这个用达布定理应该不难证明的。所以这个结论与单调性无关，只与导函数的存在性有关。
评注的意思就是：1、导函数的存在性否定了第一类间断点；
2、单调性否定了第二类间断点；
这样函数就没有间断点了。

追问

我只想问一点.：单调函数上任一点的左极限和右极限都存在吗？
如果都存在，1.达布定理=>f '(x)无第一类间断点。
跟你说意思的差不多。（ 达布定理：若f(x)在[a,b]上可导，则f '(x)的值域为一个区间。）
2.f '(x)的单调性=>f '(x)任一点的左极限和右极限都存在=>f '(x)无第二类间断点
这就说圆了