Question

已知函数f（x）＝2sin（2x－π/3）＋1

1、求函数的单调递减区间。 2、令函数g（x）＝a•f（（1/2）x＋π/6）＋cos2x 。（a∈R），求函数g（x）的最大值的表达式h（a）。

Answer 1

已知函数f(x)=2sin(2x-π/3)+1
1、求函数的单调递减区间。
2、令函数g(x)＝a•f((1/2)x+π/6)+cos2x （a∈R），求函数g(x)的最大值的表达式h(a)。
(1)解析：∵函数f(x)=2sin(2x-π/3)+1
2kπ-π/2<=2x-π/3<=2kkπ+π/2==>kπ-π/12<=x<=kπ+5π/12
∴单调增区间为[kπ-π/12，kπ+5π/12] k∈Z

2kπ+π/2<=2x-π/3<=2kkπ+3π/2==>kπ+5π/12<=x<=kπ+11π/12
∴单调减区间为[kπ+5π/12，kπ+11π/12] k∈Z

(2)解析：a•f((1/2)x+π/6)=a[2sinx+1]
g(x)＝a•f((1/2)x+π/6)+cos2x=-2(sinx)^2+2asinx+a+1
当a=0时
g(x)=cos2x
2x=2kπ==>x=kπ，g(x)取极大值1
当0<a<=2时
令g’(x)=-4sinxcosx+2acosx=2cosx(a-2sinx)=0
Cosx=0==>x1=2kπ+π/2，x2=2kπ+3π/2
a-2sinx=0 ==>x3=2kπ+arcsin(a/2)，x4=2kπ+[π-arcsin(a/2)]
g’’(x)=-4cos2x-2asinx==> g’’(x1)>0, g’’(x2)>0，g(x)在x1,x2处取极小值；
g’’(x3)<0, g’’(x4)<0，g(x)在x3,x4处取极大值g(a)=a^2/2+a+1；
当a>2时
令g’(x)=2cosx(a-2sinx)=0
Cosx=0==>x1=2kπ+π/2，x2=2kπ+3π/2
g’’(x)=-4cos2x-2asinx==> g’’(x1)<0，g(x)在x1处取极大值g(a)=3a-1；
g’’(x2)>0，g(x)在x2处取极小值；

当-2<=a<0时
令g’(x)=2cosx(a-2sinx)=0
Cosx=0==>x1=2kπ+π/2，x2=2kπ+3π/2
a-2sinx=0 ==>x3=(2k+1)π+arcsin(a/2)，x4=(2k+1)π+[π-arcsin(a/2)]
g’’(x)=-4cos2x-2asinx==> g’’(x1)>0, g’’(x2)>0，g(x)在x1,x2处取极小值；
g’’(x3)<0, g’’(x4)<0，g(x)在x3,x4处取极大值g(a)=a^2/2+a+1；
当a<-2时
令g’(x)=2cosx(a-2sinx)=0
Cosx=0==>x1=2kπ+π/2，x2=2kπ+3π/2
g’’(x)=-4cos2x-2asinx==> g’’(x1)>0，g(x)在x1处取极小值；
g’’(x2)<0，g(x)在x2处取极大值g(a)=-a-1；

综上：函数g(x)的最大值的表达式h(a)
h(a)=3a-1 (a>2)
h(a)=a^2/2+a+1 (-2<=a<=2)
h(a)=-a-1 (a<-2)

Answer 2

解：（1）π/2+2Kπ《2x-π/3《3π/2，解得5π/12+Kπ《X《11π/12+Kπ：
（2）a•f（（1/2）x＋π/6）=2asinx+1
所以g(x)=2asiax+1+cos2x
=-2siax*2+2asinx+2
设m=sinx(-1《m》1);
所以原式为个g（m）=-2m*2+2am+2
对称轴x=a/2,所以要讨论a/2与【-1,1】的范围；
【1】a/2>1时，最大值h(-1)=-2x1-2a+2=-2a;
【2】-1《a/2《1,最大值有两种情况，一种是h(1)=2a,还有一种是H（-1）=-2a；
【3】a/2<-1时，最大值为h(1)=2a

Answer 3

1. 增区间
2kπ-π/2<=2x－π/3<=2kkπ+π/2
kπ-π/12<=x<=kπ+5π/12
增区间为[kπ-π/12，kπ+5π/12]

减区间
2kπ+π/2<=2x－π/3<=2kkπ+3π/2
kπ+5π/12<=x<=kπ+11π/12
增区间为[kπ+5π/12，kπ+11π/12] k∈Z
2.
g（x）＝a•f（（1/2）x＋π/6）＋cos2x
=a*2sinx+1-2sin^2x
=-2(sinx-a/2)^2+1+a^2/2
(1) a/2>1即 a>2时
sinx=1时，g(x)有最大值，h（a）=2a-1
(2)-1<=a/2<=1即 -2<=a<=2时
sinx=a/2时，g(x)有最大值，h（a）=a^2/2+1
(3)a/2<-1即 a<-2时
sinx=-1时，g(x)有最大值，h（a）=-2a-1

Answer 4

1递减区间 周期为π 向右平移了 π/6 故递减区间为 2kπ-π/6 <= x <= 2kπ-π
2 把fx 代入到gx 里面 解法 差不多的 画图 平移就行了