Question

高中数学，已知一个数列递推公式，求通项公式。急急急，在线等，谢谢！

数列的各项都是正数，且a1=1.5 ,a(n+1)=0.5*an*(4-an)
其中n是大于等于2的整数。
求通项公式，要写出计算过程，尽量详细，谢谢了~！很着急！！

Answer 1

这个题先递推一下，求出a2，a3，a4，观察一下规律，分子分母是不是可以写成2的2次方的形式，最后猜想出an的通项公式，可见图形 ；之后再用数学归纳法去证明就好了。

Answer 2

a1=3/2=[2^(2^1)-1]/2^(2^0)
a2=0.5×a1×(4-a1)=0.5×1.5×(4-1.5)=[2^(2^2) -1]/2^(2^0+2^1)
a3=0.5×a2×(4-a2)=0.5×(15/8)(4-15/8)=(1/2)(15/8)(17/8)=[2^(2^3) -1]/2^(2^0+2^1+2^2)
假设当n=k(k∈Z，且k≥3)时，ak=[2^(2^k) -1]/2^[2^0+2^1+2^2+...+2^(k-1)]
整理，得
ak=[2^(2^k) -1]/2^[(2^k -1)/(2-1)]=[2^(2^k) -1]/[2^(2^k -1)]=2-1/[2^(2^k -1)]=2-2/[2^(2^k)]
则当n=k+1时，
a(k+1)=0.5×ak×(4-ak)
=(1/2)×[2-2/2^(2^k)]×[4-2+2/2^(2^k)]
=(1/2)[2-2/2^(2^k)][2+2/2^(2^k)]
=(1/2)[4-4/2^(2^(k+1))]
=2-2/2^[2^(k+1)]
表达式同样成立。
综上，得an=2-2/[2^(2ⁿ)]。

Answer 3

a(n 1)=(1/2)an(4-an)

2a(n 1)=4an-an^2

=-[an^2-2*2an 4] 4

=-(an-2)^2 4

2[a(n 1)-2]=-(an-2)^2

设bn=an-2,b1=a1-2=-1/2

2b(n 1)=-(bn)^2

b(n 1)=(-1/2)(bn)^2

=(-1/2){(-1/2)[b(n-1)]^2}^2=(-1/2)^3*[b(n-1)]^4

=(-1/2)^3*{(-1/2)[b(n-2)]^2}^4=(-1/2)^7*[b(n-2)]^8

……

=(-1/2)^[2^(n-1)-1]*(b2)^[2^(n-1)]

=(-1/2)^[2^n-1]*(b1)^[2^n]

=(-1/2)^[2^(n 1)-1]*(-1/2)^[2^n]
=(-1/2)^[2^(n 1)-1]

bn=(-1/2)^[2^n-1]

an=2 bn=2 (-1/2)^[2^n-1]