当x>0时，证明 (x^2-1)lnx≥(x-1)^2
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你好！
当x=1时，左边=右边=0
当0<x<1时，原不等式即 lnx ≤ (x-1)/(x+1) = 1 - 2/(x+1)
令f(x) = lnx -1+ 2/(x+1)
f'(x) = 1/x - 2/(x+1)² = (x²+1) / [x(x+1)²] >0
f(x)是增函数
f(x)<f(1) = 0
∴lnx ≤ 1 - 2/(x+1)
当x>1时，即lnx ≥ 1 - 2/(x+1)
由上可知f(x)>f(1) =0
∴成立
综上，原命题成立
当x=1时，左边=右边=0
当0<x<1时，原不等式即 lnx ≤ (x-1)/(x+1) = 1 - 2/(x+1)
令f(x) = lnx -1+ 2/(x+1)
f'(x) = 1/x - 2/(x+1)² = (x²+1) / [x(x+1)²] >0
f(x)是增函数
f(x)<f(1) = 0
∴lnx ≤ 1 - 2/(x+1)
当x>1时，即lnx ≥ 1 - 2/(x+1)
由上可知f(x)>f(1) =0
∴成立
综上，原命题成立
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追问
你好！
想知道有没有更简单的方法，比如拉格朗日中值定理等
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也是分3类
1、x=1 成立
2、01同理
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